Kap. II. Die Beziehung zwischen d. ähnl. u. d. regelm. Punktsyst. 105 



rechtsgewunden, die «-zeilige links, dann muß also r5,„„ in der 

 Richtung des Laufs der Uhrzeiger gerechnet werden (man siehe 

 Fig. 22), wie auch 6„. 



Es ist also unter der Voraussetzung, daß die //-zeilige Spirale 

 die steilere ist: 



djn„ = /// ö,i — in n OL— in An ■ 360 **. 



Dann aber ist auch: 



d„,„ = n d,„ + 360« = lim a - A„, ■ 360 » + 360 « 



wobei das + Zeichen gilt , wenn die ///-zeilige Spirale der Haupt- 

 spirale antidrom ist, das — Zeichen, wenn diese Spiralen einander 

 homodrom laufen. 



Aus diesen beiden Gleichungen folgt die bekannte Formel: 



/// A„ — n A,n = +1 (2) 



Dieselbe Beziehung ergibt sich auch, wenn vorausgesetzt wird, daß 

 die ///-zeilige Spirale die steilere ist. 



Auch hier sind also .J,„ und z!„ Zähler und Nenner des letzten 



Annäherungsbruches der Bruchzahl — 



Es braucht nicht näher erörtert zu werden, daß auch die An- 

 näherungswerte der Divergenzen, wenn die in- und ?/-zeilige Spirale 

 zugeordnete sind, durch die Regel, welche wir in § 9 Kapitel I des 

 ersten Abschnittes abgeleitet haben, bestimmt sind. 



Kapitel II. Die Beziehung zwischen den ähnlichen Punkt- 

 systemen auf der Ebene und den regelmäßigen Punktsystemen 



auf der Kreiszylinderfläche. 



§ 1. Die Abbildung von Schraubenlinien einer 

 Kreiszylinderfläche auf einer Ebene mit Hilfe kleiner 

 ähnlicher Rechtecke. Während wir oben die Eigenschaften 

 der ähnlichen Punktsysteme abgeleitet haben und dadurch zu einer 

 Einteilung dieser Systeme gekommen sind, die eine große Über- 

 einstimmung mit derjenigen der regelmäßigen Punktsysteme auf 

 der Kreiszylinderfläche zeigt, und wir weiter nachgewiesen haben, 

 daß bei einer gewissen anderen Bedeutung der Buchstaben sogar 

 dieselben Formeln für beide Fälle angewendet werden können, 

 so werden wir jetzt zeigen, daß diese Übereinstimmung nicht zu- 

 fällig ist, sondern daß eine innige Beziehung zwischen beiden Punkt- 

 systemen besteht. 



Zuerst wollen wir in Erinnerung bringen, daß es möglich ist, 

 die Ebene mit Hilfe eines vStrahlenbüschels aus einem Punkte und 

 einer Schar konzentrischer Kreise um diesen Punkt in ähnliche 

 Rechtecke zu teilen. 



Obgleich es für Mathematiker überflüssig ist, glaube ich doch 

 den Beweis für diese Eigenschaft hier folgen lassen zu sollen. 



