106 Zweiter Abschn. Einfache Systeme auf einer Ebene. 



Man denke sich vom Zentrum aus einen Strahlenbüschel ge- 

 zogen, der eine sehr große Anzahl {s) Strahlen enthält. Nennen wir 

 den konstanten kleinen Winkel zwischen zwei aufeinander folgenden 



Strahlen, in Bogenmaß gemessen, a, dann ist: a = — und wir 



können bei Anwendung von Polarkoordinaten diesen Strahlen- 

 büschel ausdrücken durch die Formel: 



(p = mci 



worin m = 0, 1, 2, 3 bis (j"— 1) ist. Zwei aufeinander folgende 



Strahlen können dargestellt werden durch: 



^ = m a und <]p — (m + 1) O- 



Man denke sich nun eine Schar konzentrischer Kreise ge- 

 zeichnet, welche in Polar-Koordinaten so bezeichnet werden kann: 



worin n = + l, +2, +3, +4 bis + oo sein kann und worin Qo und 



b konstante Größen vorstellen. 



Zwei aufeinander folgende Kreise dieser Kreisschar können 

 bezeichnet werden durch: 



^,^("+1)^ und ^.^"^ 



Betrachten wir nun die kleinen Figuren, in welche durch ein 

 solches System von Strahlen und Kreisen die Ebene eingeteilt wird, 

 so ist deutlich, daß, wenn die Strahlen und auch die aufeinander 

 folgenden Kreise nahe genug beieinander angenommen werden, 

 diese Figürchen sich kleinen Rechtecken nähern müssen. Nun 

 werden die Strahlen des Büschels dicht beieinander liegen, wenn 

 in der Formel: (p — mn, Q einen sehr kleinen Wert besitzt, wäh- 

 rend die aufeinander folgenden Kreise sehr nahe zusammenrücken, 



wenn man in der Formel q = Qo ^^ die Konstante b recht klein 

 annimmt. 



Es wird nun nachgewiesen werden, daß, wenn man die Größen 

 a und b nur klein genug nimmt, die kleinen Rechtecke, in welche 

 dann die Ebene geteilt wird, einander ähnlich sind. - 



Nach dem Vorhergehenden können die Seiten p und q eines 

 beliebigen Rechtecks dargestellt werden durch: 



p = J(m+1)Q — mo) Q = üQ = (\Qo(^^^ 



sodaß das Verhältnis dieser Seiten das folgende ist: % 



p:q = a:{e^-l) 

 Nun kann man jedoch, wenn b sehr klein genommen wird, b für 

 e — 1 einsetzen und bekommt dann: 



p : q = a : b, 

 worin, wie wir annahmen, a und b konstant sind. 



Für alle Rechtecke ist also das Verhältnis der Seiten dasselbe, 

 sie sind mithin ähnlich. 



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