Kap. II. Die Beziehung zwischen d. ähnl. u. d. regelm. Punktsyst. 109 



Linien auf Zylinderfläche und Ebene schneiden, einander gleich sein. 

 Die mit Hilfe kleiner ähnlicher Rechtecke entworfene Abbildung 

 gehört also zu den isogonalen. Da außerdem die entsprechenden 

 kleinsten Teile in beiden Figuren ähnlich sind, so spricht man auch 

 von konformer Abbildung. 



Auf die angegebene Weise kann man also von jeder Zeich- 

 nung auf der Zylinderfläche eine konforme Abbildung auf der Ebene 

 erhalten. 



§ 2. Die Abbildung von regelmäßigen Punktsystemen 

 einer Kreiszylinderfläche auf einer Ebene mit Hilfe kleiner 

 ähnlicher Rechtecke. Es ist leicht ersichtlich, daß eine Schar 

 von logarithmischen Spiralen auf der Ebene einer Serie paralleler 

 Linien mit gleichen Abständen auf der abgerollten Zylinderfläche 

 entspricht und folglich einer Schar Schraubenlinien auf der Kreis- 

 zylinderfläche selbst. 



Daraus folgt sofort, daß ein „regelmäßiges Punktsystem" 

 auf der Zylinderfläche angesehen werden kann als die 

 konforme Abbildung eines „ähnlichen Punktsystems auf 

 der Ebene". Es kann ja das erstgenannte System betrachtet werden 

 als dasjenige der Schnittpunkte zweier Scharen von Schraubenlinien, 

 das zweite als dasjenige der Schnittpunkte zweier Scharen von 

 logarithmischen Spiralen. 



Umgekehrt kann man also auch alle möglichen ähn- 

 lichen Punktsysteme auf der Ebene unmittelbar aus den 

 regelmäßigen Punktsystemen auf der Kreiszylinderfläche 

 durch die beschriebene konforme Abbildung entstanden 

 denken. 



Es bedarf keiner besonderen Erwähnung, daß alle Eigen- 

 schaften, die wir für die ähnlichen Punktsysteme direkt ab- 

 leiteten, sich auch unmittelbar aus dieser Folgerung ergeben, so wie 

 die Übereinstimmung der Einteilungen beider Punktsysteme. 



Hier sei noch betont, daß die Übereinstimmung zwischen den 

 abgeleiteten Formeln sich ebenfalls aus diesen Betrachtungen er- 

 gibt; denn sobald man auf der Kreiszylinderfläche eine Haupt- 

 spirale hat, wird man auch bei der konformen Abbildung eine Haupt- 

 spirale auf der Ebene finden — und umgekehrt. Was wir auf der 

 Ebene als „Divergenz" (a) bezeichneten, entspricht, wenn wir die 

 konforme Abbildung auf der Zylinderfläche anfertigen, demjenigen 

 Winkel, welchen wir als „Divergenz" für die Kreiszylinderfläche 

 definierten. 



Man kann weiter jede sekundäre Divergenz auf der Ebene als 

 übereinstimmend mit der sekundären Divergenz des entsprechenden 

 Punktes auf der Zylinderfläche ansehen. Wenn also für diese letzt- 

 genannten Punkte die abgeleiteten Formeln gelten, so muß das auch 

 für die der Punktsysteme auf der Ebene der Fall sein. 



§ 3. Die Abbildung von Kreisen einer Kreiszylinder- 

 fläche auf eine Ebene mit Hilfe kleiner ähnlicher Recht- 

 ecke. Man denke sich die Zylinderoberfläche durch ein System 

 einander senkrecht schneidender Schraubenlinien in Quadrate ein- 

 geteilt, die nicht unendlich klein sind; dann kann man in allen 

 diesen Quadraten Kreise ziehen , welche die Seiten berühren 

 und in den Berührungspunkten auch einander tangieren. Wird 

 von diesem System eine konforme Abbildung auf der Ebene 



