110 Zweiter Abschn. Einfache Systeme auf einer Ebene. 



angefertigt, dann gehen die Quadrate in viereckige Figuren über, 

 welche durch logarithmische Spiralen begrenzt werden, die einander 

 senkrecht schneiden. Innerhalb dieser Figuren befinden sich nun 

 Kurven, die eine Abbildung der Kreise darstellen, es sind dies so- 

 genannte Ovoide. Diese Kurven werden die Seiten der viereckigen 

 Figuren berühren, während außerdem die verschiedenen Ovoide in 

 aneinandergrenzenden Feldern gelegen, sich in denselben Punkten 

 tangieren. Einem solchen Ovoid haben Hayes und Church^) den 

 Namen Quasi-circle gegeben. 



Der Quasikreis ist also eine konforme Abbildung eines wirk- 

 lichen Kreises der Zylinderfläche auf eine Ebene mit Hilfe kleiner 

 ähnlicher Rechtecke. 



Obwohl ich später auf das Werk von Church zurückkommen 

 und auseinandersetzen werde, warum die Einführung des Begriffes 

 „Quasi-circle" in die Botanik meiner Meinung nach verfehlt war, 

 habe ich dennoch schon hier den richtigen Charakter dieser Kurve 

 klargestellt, weil die genannten Verfasser bei ihrer mathematischen 

 Ableitung das Wesen dieser Kurve nicht deutlich erkennen lassen. 



Auch auf die eigenartige Beziehung zwischen den beiden 

 Punktsystemen werden wir später genauer eingehen und dabei ver- 

 suchen, eine noch deutlichere Vorstellung davon zu bekommen. Hier 

 wollen wir kurz einige Bemerkungen über die oben angegebene 

 Abbildungsweise einfügen, welche jedoch mit unserem Thema nicht 

 direkt in Berührung stehen. 



§ 4. Die besprochene Abbildungsmethode und die Karten- 

 projektion. Jede Zeichnung auf einer Ebene kann angesehen werden als 

 die Polprojektion (nach Hipparch und Ptolemäus) einer konformen 

 Zeichnung auf einer Kugel. Man denke sich nämlich eine Kugel auf eine 

 Ebene gestellt und den dem Berührungspunkte gegenüberHegenden Pol mit 

 allen Punkten der Zeichnung auf der Ebene verbunden, dann bilden die 

 Schnittpunkte dieser Linien mit der Kugeloberfläche auf dieser eine kon- 

 forme Abbildung der Zeichnung der Ebene, wie sich mittels der Theorie der 

 „Inversion" leicht beweisen läßt. 



Weiter kann man eine Zeichnung auf einer abgerollten Kreiszylinder- 

 fläche immer betrachten als die Merkatorkarte einer konformen Zeichnung 

 auf einer Kugeloberfläche. Man denke sich dazu die Kreiszylinderfläche 

 durch eine sehr große Anzahl s vertikaler und eine unendliche Anzahl 

 horizontaler Linien und die Kugeloberfläche durch s Meridiane und eine 

 unendliche Anzahl Parallelkreise in ähnliche kleine Rechtecke eingeteilt. 

 Man kann dann in die kleinen Rechtecke der Kugeloberfläche, die als 

 flach betrachtet werden dürfen, die Zeichnung aus den „übereinstimmenden" 

 Rechtecken der Zylinderoberfläche übertragen. 



Gerade Linien auf der Merkatorkarte entsprechen auf der Kugelober- 

 fläche Kugelloxodromen , und diese Kurven entsprechen wieder bei der 

 Polprojektion auf die Ebene logarithmischen Spiralen mit dem Pol als 

 Zentrum. 



Hieraus ergibt sich, daß die Beziehung zwischen den regelmäßigen 

 Punktsystemen auf der Kreiszylinderfläche und den ähnlichen auf der Ebene 

 dieselbe ist wie diejenige zwischen der Merkatorkarte und der Pol- 

 projektion (nach Hipparch und Ptolemäus). • 



1) ChürcH: Od the relation of Phyllotaxis tu Mechanical Laws. London 1904. 



