Kap. II. Die Beziehung zwischen d, ähnl. u. d. regelm. Punktsyst. 111 



§ 5. Die besprochene Abbildungsmethode von funktions- 

 theoretischem Standpunkt. 



Die oben beschriebene Abbildungsmethode mit Hilfe kleiner ähnlicher 

 Rechtecke steht in enger Beziehung zu einer solchen, die man durch eine 

 Funktion eines komplexen Arguments wiedergeben kann und zwar durch 

 die logarithmische Funktion, die wir durch das Symbol: 



Z= lg0 



darstellen. Eine ausführliche Besprechung dieser Abbildung findet man bei 

 G. Holzmüller ^). Wir wollen hier nur bemerken, daß dabei die Zeich- 

 nung auf einem flachen horizontalen Streifen (auf der Z-Ebene) konform 

 abgebildet wird auf eine unbegrenzte Ebene (ein Blatt der 2^-Ebene). Der 

 einzige Unterschied von obiger Abbildungsmethode ist der, daß bei dieser 

 der flache Streifen vertikal gestellt war. 



Auch mit Hilfe der Theorie dieser logarithmischen Abbildung kann man 

 nachweisen, daß gerade Linien der Z-Ebene auf der ^-Ebene durch logarith- 

 mische Spiralen dargestellt werden und dadurch kann man dann außerdem 

 in sehr einfacher Weise alle Eigenschaften der logarithmischen Spirale aus 

 denjenigen der geraden Linie ableiten'). 



Daß die Abbildung eine konforme ist, geht schon daraus hervor, daß 

 alle Abbildungen mittels einer Funktion eines komplexen Arguments kon- 

 form sind. Die Vergrößerung eines Elementarteilchens der Zeichnung bei 

 der Abbildung findet man, indem man den „absoluten Betrag" des kom- 



dZ . . 



plexen Difierentialquotienten — - für dieses Teilchen bestimmt; hier wird 



1 '^^ 



derselbe gleich — , wenn q der Radius vector des Teilchens auf der ^r-Ebene 



Q 

 ist. Hieraus ergibt sich, daß diejenigen Teilchen der s-Ebene, welche in der 



Nähe des Zentrums gelegen sind, eine Verkleinerung erlitten haben, während die 



Teilchen, welche in größerer Entfernung vom Zentrum liegen, eine Vergrößerung 



erfuhren; nur die Teilchen, auf dem Kreise mit dem Radius 1 um das Zentrum, 



haben die Größe beibehalten, welche sie auf der Z-Ebene besaßen. 



Wenn man die Koordinaten der Z-Ebene groß, diejenigen der c-Ebene klein 



schreibt, so kann man das Symbol Z = lg 2 auch in folgender Weise schreiben : 



Z — X-|- / J' = lg 2 = lg (.V + iy) = lg ß (cos cp + /sin cp) 



°^^^= Z=lg^/'''' = lg^ + /(9, + 2.r/^) 



wenn /& = + (0, 1, 2, 3, 4 . . .) 



woraus sich ergibt: A' = Ig^ J' == 99 -f- 2 tt /' 



Es wird also eine Kurve, welche in der Z-ebene dargestellt wird durch 

 f[X, Y) — 0, auf der £r-Ebene gegeben durch /{\gQ, 9? +2 Tri) = 0. 



Mittels dieser Transformationsformeln konnten E. H. Hayes und 

 A. H. Church^) die Gleichung der Kurve ableiten, welche in der c-Ebene 

 der Abbildung eines Kreises der Z-Ebene entspricht und welcher diese 

 Autoren, wie schon oben gesagt wurde, den Namen Quasikreis gaben. 



1) Einführung in die Theorie der isogonalen Verwandtschaften und der kon- 

 formen Abbildung. Leipzig 1882, S. 237. 



2) Man siehe: Über die logarithniische Abbildung und die aus ihr entspringenden 

 orthogonalen Kurvensysteme. Dr. G. Holzmüller. Zeitschrift f. Mathematik und 

 Physik. (ScHLüMiLCHs) 16. Jahrgang, 1871, S. 267. 



3) On the reiation of Phyllotaxis to Mechanical Laws by A. H. Church, Lon- 

 don 1904. Man siehe: Mathematical Notes on Log. Spiral Systems and their Appli- 

 cation to Phyllotaxis Phenomena, p. 327. 



