112 Zweiter Abschn. Einfache Systeme auf einer Ebene. 



Kapitel III. Ähnliche Systeme taiig^ierender Kreise 



auf einer Ebene. 



§ 1. Definition. Unter einem ähnlichen System tan- 

 gierender Kreise auf einer Ebene werden wir ein System von 

 Kreisen verstehen, das folgende Eigenschaften besitzt: 1. die Mittel- 

 punkte der Kreise bilden ein ähnliches Punktsystem auf einer Ebene; 

 2. die Strahlen der Kreise verhalten sich wie die Leitstrahlen nach 

 den Mittelpunkten, bilden also eine geometrische Reihe; 3. jeder 

 Kreis tangiert mindestens vier andere Kreise; 4. nirgendwo im 

 System findet ein Schneiden von Kreisen statt. 



Es wird deutlich sein, daß, wenn es solche ähnliche Systeme 

 tangierender Kreise wirklich gibt, was noch zu beweisen ist, jeder 

 Kreis des Systems allen anderen gegenüber eine ähnliche Lage 

 einnimmt. Wird z. B. der Kreis o von dem Kreise ui tangiert, so 

 muß dieser Kreis wieder vom Kreise 2 in berührt werden, und 

 dieser wieder von 3 /// usw. Dann muß aber auch der Kreis 1 von 

 dem Kreise (1 + ni) tangiert werden und dieser wieder vom Kreise 

 (I + 2w) usw. Es werden sich also in diesem Falle alle Kreise des 

 Systems auf ui parallelen kongruenten , logarithmischen Spiralen 

 ordnen lassen. Wir werden dann wieder von ;//-zeiligen Kon- 

 taktspiralen sprechen. 



Tangiert der Kreis o außerdem noch den Kreis n, dann 

 existieren auch n ?z-zeilige Kontaktspiralen. Wir werden dann 

 wieder vom zweizähligen Kontakte in und n sprechen. 



§ 2. Läßt sich die Möglichkeit der Existenz von 

 ähnlichen Systemen tangierender Kreise auf einer 

 Ebene schon voraussagen? Im vorhergehenden Kapitel haben 

 wir nachgewiesen, daß man sich die ähnlichen Punktsysteme durch 

 eine konforme Abbildung mittels kleiner ähnlicher Rechtecke aus 

 den regelmäßigen Punktsystemen auf einer Kreiszylinderfläche ent- 

 standen denken kann. Können nun auch die ähnlichen Kreis- 

 systeme in gleicher Weise durch eine solche Abbildung aus den 

 regelmäßigen Kreis- oder Ellipsensystemen entstanden gedacht 

 werden? Nein. 



Wenn man von einem regelmäßigen System tangierender 

 Ellipsen einer Kreiszylinderfläche mittels der Methode der kleinen 

 ähnlichen Rechtecke eine konforme Abbildung auf einer Ebene her- 

 stellt, dann gehen die Ellipsen dabei in Ovoide über, welchen man den 

 Namen Quasiellipsen geben könnte, und jede dieser Quasiellipsen 

 wird von vier ähnlichen tangiert. Die Gleichung einer solchen 

 Quasiellipse kann man mittels der Transformationsgleichungen von 

 § 5 des vorigen Kapitels unmittelbar aus derjenigen einer Ellipse 

 ableiten. Niemals aber kann bei endlicher Größe eine solche 

 Quasiellipse in einen Kreis übergehen. 



Hätte man anstatt eines regelmäf^igen Systems tangierender 

 Ellipsen auf der Kreiszylinderfläche ein solches von tangierenden 

 Kreisen für die konforme Abbildung benutzt, so würde man ein 

 System von ähnlichen Quasikreisen bekommen haben, und auch 

 diese Kurven können bei endlicher Größe niemals in wirkliche 

 Kreise übergehen. Wenn aber die Kreise kleiner werden, so werden 

 die Quasikreise immer mehr wirklichen Kreisen gleichen, obwohl 



