Kap. III. Ähnl. Syst. tangier. Kreise a. e. Ebene. Allgem. Betracht. 113 



sie erst, wenn die Kreise unendlich klein werden, in solche über- 

 gehen. Wir kommen darauf später noch ausführlicher zu sprechen. 

 Es läßt sich also sagen, daß es unmöglich ist, ä priori auf 

 die Existenz von ähnlichen Systemen tangierender Kreise auf 

 einer Ebene zu schließen. Im folgenden Paragraphen wird die Mög- 

 lichheit davon dennoch nachgewiesen werden. 



§ 3. Die Beziehung zwischen a und a für zwei- 

 zählige Kontakte. Wir werden zuerst nachweisen, daß es un- 

 endlich viele ähnliche Systeme tangierender Kreise gibt, die einen 

 bestimmten Kontakt /// und n zeigen, daß aber, wenn der Wert 

 von a oder derjenige von a für ein solches System gegeben ist, 

 das System dadurch völlig bestimmt wird. 



Denken wir uns ein ähnliches Punktsystem auf einer Ebene 

 angegeben und nehmen wir wieder an, daß die ;//- und die «-zeilige 

 Spirale zugeordnet sind. 



Betrachten wir nun ausschließlich die Punkte des Systems, die 

 auf der ///-zeiligen Spirale liegen , und verbinden wir diese Punkte 

 mit dem Pole und außerdem jeden folgenden Punkt mit dem vor- 



hergehenden. (Man siehe Fig. 25.) Die Längen der Leitstrahlen, 

 sowie die der Verbindungslinien werden eine geometrische Reihe 

 mit dem Quotienten a'" bilden. 



Man ziehe jetzt in den ähnlichen Dreiecken, die von den Leit- 

 strahlen und den Verbindungslinien gebildet werden, die Linien, 

 welche den Winkel am Zentrum halbieren. In Fig. 25 halbiert also 

 OP den Winkel AO B, 0(9 den Winkel BOC usw. 



Nach einem einfachen Lehrsatz der Planimetrie findet man nun: 



PB Q,n QB Q,„ 



