114 Zweiter Abschn. Einfache Systeme auf einer Ebene. 



Bedenkt man nun noch, daß q„i = a'" g„ und ^j,« = a^'" q,„ 

 während B C = a'" ■ A B ist, so ergibt sich: 



PB= QB H 



In ganz gleicher Weise beweist man, daß: 



QC = SC, SB = TB usw. 



ist. Aber außerdem folgt noch aus denselben Beziehungen : 



PA: FB= QB.QC ^ SC :SB = usw. ^ a'" 



Beschreibt man nun um den Punkt yl einen Kreis mit dem Radius 

 A B, um B einen solchen mit dem Radius B Q, um C einen solchen 

 mit dem Radius CS, um B einen solchen mit dem Radius B T 

 usw., so werden sich diese Kreise nach dem Vorhergehenden in den 

 Punkten P, Q, S, T usw. tangieren, und ihre Strahlen werden eine 

 geometrische Reihe mit dem Quotienten a'" bilden. Wird also der 

 Radius A P durch r<, dargestellt, so sind die anderen Strahlen durch 

 a'" To, a-'" r,„ a^'" r„ usw. gegeben. 



Man denke sich nun um alle Punkte des ähnlichen Punkt- 

 systems Kreise beschrieben, und zwar in der Weise, daß der Kreis 

 um Punkt o den Radius A P ^ r„ besitzt, derjenige um Punkt 1 

 den Radius ar,,, derjenige um Punkt 2 den Radius a- ro usw., dann 

 werden die Kreise um die Punkte m {B), 2 in {C), 8w {B) usw. 

 die Strahlen a'" r„, a'"' r„, a^'" r„ usw. besitzen, d. h. also denjenigen 

 Wert, welchen sie auch nach der eben beschriebenen Methode 

 hatten. Die letztgenannten Kreise müssen also mit einander in Kon- 

 takt sein. Aus der Ähnlichkeit der Lage jedes Punktes allen anderen 

 gegenüber ergibt sich dann, daß sich bei dieser Konstruktion auch 

 die Kreise um die Punkte 1, 1 + w, l+2w, l-|-3w usw. tangieren 

 müssen, ebenso wie die Kreise um die Punkte 2, 2-\-m, 2 + 2///, 



2 + 3/// usw., und auch diejenigen um die Punkte 3, 3 + ;//, 3 + 3///, 



3 + 3/// usw., und in dieser Weise kann man weiterschließen. Man be- 

 kommt so um die Punkte eines ähnlichen Punktsystems ein System 

 Kreise, dessen Strahlen eine geometrische Reihe mit dem Quotienten a 

 bilden, und das den ///-zähligen Kontakt zeigt. Aus unseren Be- 

 trachtungen geht hervor, daß ein solches System um die Punkte 

 jedes ähnlichen Punktsystems zu beschreiben ist. 



Im allgemeinen wird nun ein solches System nicht noch einen 

 zweiten Kontakt zeigen, es fragt sich also, welches ist die Bedingung, 

 daß dies der Fall ist? 



Um ein System mit n-zähligem Kontakte zu beschreiben, ver- 

 fährt man nach dem Vorhergehenden in folgender Weise: Man 

 verbindet den Punkt o mit dem Punkt ;/, in Fig. 25 mit V bezeichnet, 

 und halbiert darauf den Winkel y^ (9 F durch die Gerade OZ. Be- 

 schreibt man nun um die Punkte des ähnlichen Punktsystems 

 Kreise, deren Strahlen gleich r,,' = AZ, ar,,', <'?-/',.', f^^r,,' usw. sind, 

 so ist damit die Aufgabe gelöst. 



Damit also die Kreiskonstruktion gleichzeitig den ///- und den 



?z-zeiligen Kontakt aufweist, muß das Punktsystem derart beschaffen 



sein, daß r., = r„', d. h. daß AP= AZ ist. 



PA o 

 Nun fanden wir in aAOB: -=-^ = -^ und daraus folgt: 



PB Q„, 



PA _ PA-\-PB _ AB 



Qo Qo + Qm Qo + Qm 



