Kap. III. Ähnl, Syst. tangier. Kreise a. e. Ebene. Allgem. Betracht. Il5 



In dieser Formel läßt sich AB in folgender Form schreiben: 



AB —M Qo- + Q^J -'2qo Qm cos d,n 

 oder, wenn man nach Formel (1) ö„i = ihol — A,,, • 360<* setzt: 



AB = i'Q.r-^- Qm- — ^QoQm cos ///a 

 Es wird also: 



AP _ io^- + Q,J — 2qo Q„i cos ;// a 



Qo . Qo+ Qm ' . 



oder wetin man bedenkt, daß Qm = (i"'Qo'' 



AP Vl + rt-J'« — 2«" 



cos Ifl OL 



Qo 1 + a'" 



In übereinstimmender Weise läßt sich, aus den Eigenschaften 

 von A AOV ableiten, daß: 



^ Z _ y 1 + a-" — 2 a" cos n a 



~^ ~ 1 + «" 



ist. 



Die Bedingung, daß AP = AZ ist, und folghch um die 

 Punkte des ähnlichen Punktsystems ein System Kreise konstruiert 

 werden kann, dessen Strahlen das Verhältnis a besitzen und das 

 den zv(^eizähligen Kontakt /// und ;/ zeigt, wird also gegeben durch 

 die Beziehung: 



■ l4-g2>«__2(7"'cos/^/a _ /l + a"'\2 ' 

 1 + «-« — 2rt"cos;/a ~ yl + rt"' j 



Diese Formel läßt sich nach einigen Umformungen auch in folgender 

 Form schreiben: 



m 



= + T-^y««— (40) 



cos -^ a 



Für jeden Wert von a gibt diese Formel einen solchen von a, 

 und mit diesen Werten ist dann ein ähnliches Punktsystem zu 

 beschreiben, um dessen Punkte die Kreiskonstruktion mit dem 

 Kontakte ;// und ;/ auszuführen ist; für jeden Wert von a gibt sie 

 den zugehörigen Wert von a. 



Die Kreiskonstruktionen, die man in der angegebenen Weise 

 bekommt, genügen nun den Bedingungen, welche wir an die „ähn- 

 lichen Systeme tangierender Kreise auf einer Ebene" gestellt haben, 

 mit der Einschränkung, daß noch keine Rücksicht auf die Bedingung 

 genommen worden ist, daß im ganzen System kein Schneiden der 

 Kreise stattfinden darf. 



Wenn die ///- und die «-zeilige, Spirale „zugeordnet" sind, 

 so werden sich innerhalb der viereckigen Figuren, in welche die 

 Ebene von den ///- und ;/-zeiligen Spiralscharen eingeteilt wird, 

 keine Punkte des Punktsystems befinden können. Es wird also 

 deutlich sein, daß, falls der Kreis um Punkt o in obiger Konstruktion 

 nur nicht denjenigen um die Punkte (;// + n) und {n — m) schneidet, 

 auch nirgends im ganzen System Durchschneidung von Kreisen 

 stattfinden kann. Die Grenzfälle dafür sind also diejenigen, bei 



