Kap. III. ÄhnL Syst. tangier. Kreise a. e. Ebene. Allgcm. Betracht. 117 



Rechtecke auf einer Ebene entwirft, so gehen die vertikalen 

 Tangenten dabei in Strahlen durch das Zentrum über und der 

 Faktor b für den Ouasikreis kann dann definiert werden als das 

 Verhältnis zwischen dem Winkel, unter dem vom Zentrum aus 

 dieser Quasikreis gesehen wird, und einem Winkel von 360^. Es 

 liegt also auf der Hand, den Faktor b für die ähnlichen Kreis- 

 konstruktionen auch zu definieren als das Verhältnis zwischen dem 

 Winkel, unter dem vom Zentrum aus der wirkliche Kreis gesehen 

 wird und einem Winkel von 360^. Nennen wir diesen ersten 

 Winkel co, so ist also: 



* = m-^ («) 



Nimmt man nun einen willkürlichen Kreis (f) aus der Kreis- 

 konstruktion heraus, so ist: 



sm - CO = -^ = —. — = ^ 44) 



woraus folgt, daß in dem ähnlichen Kreissystem der Winkel o:i für 

 alle Kreise einen konstanten Wert besitzt; dasselbe ist dann nach 

 (43) auch für den Faktor b der Fall. 



Aus den Beziehungen, die wir in § 3 dieses Kapitels ableiteten, 

 ergibt sich dann weiter: 



. 1 r„ y 1 + «2'« _ 2 a"' cos ui a V 1 + a^" — 2 a" cos ;/ a 



sm — 0) 



2 Q„ 1 + a'« 1 + a" 



woraus man folgern kann : 



Sind für ein ähnliches System von tangierenden Kreisen auf einer 

 Ebene die Werte von a und a bekannt, dann gibt F'ormel (4ö) 

 denjenigen von co und Formel (43) denjenigen von b. 



Obwohl sich also die Beziehung zwischen b und a nicht in 

 eine so einfache Form schreiben läßt, wie das für die regelmäßigen 

 Kreissysteme der Fall war, so kann man doch bei einem bestimmten 

 Kontakte /// und ;/ für jeden Wert von a mittels Formel (40) den 

 zugehörigen von a und darauf mittels der Formeln (45) und (43) 

 denjenigen von b finden. Es muß also auch hier möglich sein, die 

 Beziehung zwischen b und a graphisch darzustellen. 



§ 6. Die Neigung der ///- und ;^-zeiligen Spirale. Es 

 werden in den folgenden Paragraphen nun einige Haupteigenschaften 

 der ähnlichen Kreissysteme abgeleitet werden. Zuerst wollen wir 

 nachweisen, daß, wenn n > /// ist, die n-zeilige Spirale steiler sein 

 wird als die /«-zeilige. 



Es läßt sich Formel (40) auch in folgender Weise schreiben: 



Da nun ö„i und d„ kleiner als ISO** sind, so sind -^ und ^ spitze 



