Kap. III. Ähnl. Syst. tangier. Kreise a. e. Ebene. Allgem. Betracht. 119 



und folglich: fJimK.fJi'n 



sein, d. h. die ;/-zeilige Spirale wird steiler verlaufen als die w-zeilige. 

 Bei dem dreizähligen Kontakte ///, n und {m + n) kann man 

 in gleicher Weise ableiten, daß: 



Dies bedeutet, daß die (/// + ^^)-zeilige Spirale die steilste ist und 

 darauf die ?/-zeilige folgt. 



Ebenso findet man, daß bei dem dreizähligen Kontakte {n — ///), 

 /// und n die ^/-zeilige die steilste ist, 



§ 7. Die Richtung der Kontaktspiralen beim drei- 

 zähligen Kontakte /;/, n und {in -]- Jt). Wenn in Fig. 26 die 

 Punkte A, B, C und 



Flg. 26. 



D die Mittelpunkte der 

 Kreise o, ni, n und 

 (/;/ + n) darstellen, so 

 werden unter der An- 

 nahme eines Kontaktes 

 ;;/, n und {ffi-\-n) die 

 Seiten des Viereckes 

 A BD Cgegeben durch : 



AB = r<, (1 + «"') 

 AC = r,(l + ««) 

 BD ^ Toa'^il + a") 

 CD = roa"{l + a"') 



Außerdem ist dann: 

 AD = ro{l-{- a'" + ") 



Die Leitstrahlen nach den vier Punkten werden dargestellt durch: 



OA = Q, OB =^ a'"Qo OC = a" Qo 

 Hieraus folgt nun: 



Es ist ja: 



also: 



OD 



a" 



+ « 



Qo 



oder: 



l\ODCo:> /\OBA 



OD.OB = OC: OA = DC.BA ^ a" 



L.DOC = L^BOA 



L DOC ^ bm 



Nach (46) ist weiter: 



bm -f « "X bn <C bm 



Wenn man nun in Fig. 26 die Punkte B, C und D so zu 

 zeichnen versucht, daß diesen beiden letzten Formeln genügt wird, 

 dann ergibt sich sogleich, daß dies in der Weise nur möglich ist, 

 daß B und C auf verschiedene Seiten von O A zw liegen kommen, 

 während D auf derselben Seite wie B liegt. In unserer Figur ist 

 die Lage richtig gezeichnet. Hieraus folgt also die wichtige Eigen- 

 schaft : 



Beim Kontakte m, n und [m-\-n) besitzt die {)u-\-n)- 

 zeilige Spirale dieselbe Richtung wie die /«-zeilige und 

 entgegengesetzte Richtung wie die ^«-zeilige. 



