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Zweiter Abschn. Einfache Systeme auf einer Ebene. 



§ 



8. Die Richtung der Kontaktspiralen beim drei- 

 zähligen Kontakte {n—ui), ni und n. Bei diesem dreizähligen 

 Kontakt muß man zwei Fälle unterscheiden: 



V) n — in < )ii oder: n<C2m 



und 



Betrachten 



2) n— in > fn 

 wir zuerst den 



1 t^. 



27. 



Ji-m 



oder: w > 2 ni 



Fall 1 und nehmen wir an, die 

 Punkte A, B, C und 

 D in Fig. 27 stellen 

 bei diesem Kontaktfall 

 die Mittelpunkte der 

 Kreise o, ni, n und 

 (ii — ni) dar. Es läßt 

 sich dann wieder nach- 

 weisen, daß: 



r^OCB ^ r^ODA 



und daß also 



LBOC = bn-,n 



ist. Wenn aber 



n 



in 



in 



so ist nach (46): 

 <5„ _ ,„ > b,n > b„ 



Versucht man nun wieder die Punkte B, C und D so zu 

 ordnen, daß diesen Formeln Genüge geleistet wird, so ist dies 

 nur in der Weise möglich, daß B und C auf verschiedenen Seiten 

 von OA liegen und D auf derselben Seite dieser Linie wie C. 

 In Fig. 27 ist wieder die richtige Lage gezeichnet. Wenn also 

 n<^27n ist, so muß beim dreizähligen Kontakte {n — m), 

 in und n, die {« — ///')-zeilige Spirale der «-zeiligen homo- 

 drom, der ///-zeiligen antidrom gewunden sein. 



Bei der Betrachtung des zweiten Falles w > 2 ///, findet man 

 durch eine gleichartige Ableitung: 



Wenn « > 2 w ist, so muß beim dreizähligen Kontakte 

 {n — in), in und //, die (?/ — ///)-zeilige Spirale sowohl der 

 ni-ZQiWgen als der ?^-zeiligen Spirale antidrom laufen; diese 

 beiden letzten Spiralen sind also einander homodrom. 



Es ergeben sich somit für die Richtung der Kontaktspiralen 

 bei dreizähligem Kontakt für die ähnlichen Systeme tangierender 

 Kreise auf einer Ebene dieselben Regeln, die wir in § 3 Kap. II 

 des ersten Abschnittes für die regelmäßigen Systeme tangierender 

 Kreise auf einer Zylinderfläche ableiteten. 



§ 9. Die Richtung der Kontaktspiralen bei zwei- 

 zähligem Kontakte. Läßt man in Formel (40) die Divergenz a 

 alle möglichen Werte durchlaufen, welche zwischen denjenigen bei 

 dem dreizähligen Kontakte [n — in), in und ii und denjenigen bei 

 dem dreizähligen Kontakte ///, n und (/// + ii) liegen, dann kann man 

 mit den zugehörigen Werten von a eine kontinuierliche Reihe ähn- 

 licher Kreissysteme mit dem Kontakte /// und n beschreiben. Es 

 wird nun deutlich sein, wenn die ///- und die n-ze\\\ge Spirale beim 

 Kontakte {n — in), in und 7i eine bestimmte Richtung besitzen, daß 

 dann unmöglich beim Kontakte ;//, n und {in -\- n) diese beiden 



