Kap. IV. Ähnl. Syst. tang. Kreise a. e. Ebene. Zahlenanwendungen. 125 



rührt, während ein Kontakt und 1 ausdrücken sollte, daß ein 

 Kreis auf einer Ebene sich selbst tangiert. 



Der einfachste Kontaktfall ist also derjenige mit dem Kon- 

 takte 1 und 2, die Formel (40) wird dafür (siehe Tabelle XIII) 



— cos a l-\-a' 



Die Kurve, welche in der graphischen Darstellung diesem Kontakte 

 entspricht, fängt bei a = an, denn setzt man diesen Wert in die 

 Gleichung ein, so findet man a = 180°. In der graphischen Dar- 

 stellung I der Tafel VII ist der entsprechende Punkt mit 1, 1 und 2 

 bezeichnet. Wir werden nämlich nachher besprechen, daß dieser 

 Fall als Grenzfall von dem zweizähligen Kontakte 1 und 2 ange- 

 sehen werden kann. Die Kurve für den Kontakt 1 und 2 endet an 

 der anderen Seite in dem Punkt « = 1, a = 120^ jedoch entspricht 

 nur ein Teil derselben möglichen Kreissystemen, denn im Punkte 1, 

 2 und 3 werden die Kurven für den Kontakt 2 und 3 und den Kon- 

 takt 1 und 3 sich anschließen. 



Man kann also durch eine kontinuierliche Zunahme von a aus 

 dem Kontakte 1 und 2 sowohl in den Kontakt 2 und 3 als in den 

 Kontakt 1 und 3 übergehen. 



Übrigens bedarf diese Darstellung weiter keiner ausführlichen 

 Besprechung. Es sei nur nochmals erwähnt, daß die Grenzwerte^ 

 welche für den Fall a = l erreicht werden, ganz dieselben sind wie 

 diejenigen, welche bei den regelmäßigen Kreissystemen auf einer 

 Kreiszylinderfläche für d = erreicht werden (man siehe S. 121). 



§ 2. Die Berechnung von a und a für dreizählige 

 Kontakte. Wir sagten schon, daß eine direkte Lösung der 

 Gleichungen (41) und (42) unmöglich ist. Auch hier sind wir des- 

 halb auf eine Annäherungsrechnung angewiesen. Schon durch 

 Ablesen der Schnittpunkte der verschiedenen Kurven in der soeben 

 besprochenen graphischen Darstellung findet man für die Werte 

 von a und a bei dreizähligen Kontakten Annäherungswerte. 

 Wünscht man jedoch diese Werte genauer zu berechnen, so kann 

 man das in der Weise tun, daß man zwei der Kurven in der Nähe 

 des Schnittpunktes, mit Hilfe des Annäherungswertes, in größerem 

 Maßstab abbildet und dann mit größerer Genauigkeit den Wert 

 des Schnittpunktes abliest. Man kann aber auch die NEWTONsche 

 Annäherungsmethode dafür in Anwendung bringen^). Beide Metho- 

 den sind von mir verwendet worden, weil eine genaue Berechnung 

 dieser Werte erwünscht und auf diese Weise eine Kontrolle mög- 

 lich war. In jedem Falle aber erfordert die Berechnung viel Zeit, 

 die beiden Methoden unterscheiden sich in dieser Hinsicht kaum. 



1) Sind ßj und a^ Näherungswerte für die Wurzeln der Gleichungen: 



/{a, a) = und 9' (a, a) = 0, 



so findet man die ersten Korrektionen (A a^ und A aj dieser Werte durch Lösung der 

 folgenden Gleichungen : 



A a, 1^^ + A oc, 1^1^^ = -fia,, aj 



8 (p (a , ^i) , . S rp {a , a ) 



