Kap. V. Rechtwinkliger Schnitt der Kontaktspiralen. 133 



die Divergenz a = — .360<> =90*^ beträgt. Endlich gibt die Fig. 15 



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 mit dem Kontakte 2 und 5 ein System mit der Divergenz -^.360° 



o 



= 144", bei welchem also die fünfzeiligen Kontaktspiralen in Gerade 



umgewandelt sind. Es bildet diese letzte Figur und Fig. 1 die beiden 



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einzigen Systeme, welche mit einer Divergenz -^-360*^ zu ent- 

 werfen sind. ^ 



Kapitel V. Rechtwinkliger Schnitt der Kontaktspiralen. 



§ 1, Isogonale Kurvensysteme. In zwei konjugierten 

 Spiralscharen in einem „ähnlichen Punktsystem auf einer Ebene" 

 schneiden sich die Spiralen überall unter gleichem Winkel. Es ge- 

 hören solche Systeme zu den isogonalen oder isothermischen 

 Kurvensystemen. Ein besonderer Fall ist der, daß der Schnitt 

 rechtwinklig geschieht und eben dieser Fall hat für uns größere 

 Bedeutung. Der Name ,, isothermische" Systeme findet in folgendem 

 Umstand seine Erklärung: Man denke sich in einer unendlich 

 dünnen Platte eines anisotropen Material es zwei Spiralen einer 

 logarithmischen Spiralenschar auf verschiedener, aber konstanter 

 Temperatur erhalten , dann bilden die parallelen Spiralen der 

 Schar Kurven, auf denen die Temperatur überall dieselbe ist, also 

 Isothermen, während die Spiralen einer Schar, welche die erste 

 Schar unter einem bestimmten Winkel durchschneidet, Strömungs- 

 linien der Wärme bilden. Ist das Material isotrop, dann schneiden 

 sich die beiden Scharen rechtwinklig. 



Hätte man in zwei der Spiralen ein konstantes elektrisches 

 Potential dargestellt, so würden die parallelen Spiralen ,, Linien 

 gleichen Potentials" und diejenige der zweiten Schar „Kraftlinien" 

 sein. Wären die Spiralen der einen Schar Strömungslinien einer 

 Flüssigkeit, so würden diejenigen der zweiten Linien gleichen Druckes 

 angeben. 



Diese merkwürdigen Eigenschaften von isothermen Kurven- 

 systemen waren es, welche Church dazu führten, den Systemen 

 von orthogonalen Scharen logarithmischer Spiralen eine große Be- 

 deutung für die Theorie der Blattstellung zuzuschreiben und wodurch 

 er schließlich zu seinen Konstruktionen mit Quasikreisen geführt 

 wurde. Es fragt sich nun, ob es unter den ,, ähnlichen Systemen 

 tangierender Kreise auf einer Ebene" auch solche gibt, bei denen 

 die Kontaktspiralen orthogonale Kurvenscharen bilden. Wir werden 

 im folgenden Paragraphen nachweisen, daß dies wirklich der Fall ist. 



Denkt man sich auf einer Kreiszylinderfläche ein regelmäßiges Punkt- 

 system, derart, daß die m- und die «-zeilige Spirale zugeordnet sind und 

 sich außerdem rechtwinklig schneiden. Wird nun diese Zylinderfläche mit 

 der Achse horizontal gestellt und darauf abgerollt, so befindet sich auf dem 

 horizontalen Flächenstreifen ein orthogonales System gerader Linien, welches 

 durch folgende zwei Gleichungen darzustellen ist: 



27iR 



V ^ q X-\-p^ wenn p^ = 0, 1, 2, 3 .... bis m — 1 



m 



