134 Zweiter Abschn. Einfache Systeme auf einer Ebene. 



1 *? -T Ä* 



F = ^' + A' ~ — wenn />., = 0, 1, 2, 3 .... bis n — 1 



q ^ 71 



{R =: Radius der Zylinderfiäche). 



Durch Anwendung der Transformation : V = qp, X = \g q (siehe 

 S. 111), gehen diese Gleichungen über in: 



1 , 2 7iR 



Es folgt hieraus, daß durch die logarithmische Abbildung das orthogonale System 

 gerader Linien übergeht in ein solches, das von zwei logarithmischen Spiral- 

 scharen gebildet wird, die einander ebenfalls rechtwinklig schneiden. Man 

 kann den beiden Gleichungen auch noch diese Form geben: 



X ü q n 



oder: 



wenn u-^ und u^ Funktionen von .r und v, C^ und Q Konstante darstellen. 

 Beide Funktionen genügen, wie sich durch Differenzierung unmittelbar ergibt, 

 der partiellen Differentialgleichung: Au =^ o, also dem Kriterium, das Lame 

 für die Gleichungen isothermer Kurvensysteme aufgestellt hat. Es liegt in 

 diesem Umstand, wie in der theoretischen Physik nachgewiesen wird, die 

 Erklärung der oben angegebenen physikalischen Eigenschaften. 



§ 2. Rechtwinkliger Schnitt konjugierter Spiralen 

 in ähnlichen Punktsystemen auf einer Ebene. Stellen wir 

 die w-zeilige Spirale in einem ähnlichen Punktsystem dar durch 

 die Gleichung 



SO werden, weil diese Kurve die Punkte o (o„, cp„) und ;// 

 {Qm, (p„i =^ fpo'ji ^m) enthält, auch folgende gelten: 



aus denen sich durch Division ergibt: 



a'" — e — ^>" ^'« oder: q,„ d>n = + w lg a 



In derselben Weise findet man, wenn q = de^"*^^ die Gleichung 

 der /«-zeiligen Spirale darstellt, daß: 



^« <5„ = ±nlga 

 sein muß. 



Es ergibt sich also: 



^m qn ^m ^n = + W « (lg O)'- 



Bedenkt man nun, daß q,,, = -; und q„ = ist, wenn //,„ 



und n„ die Winkel darstellen, die bei der ///- und der «-zeiligen 

 Spirale der Leitstrahl mit der Tangente bildet, so wird einleuchten, 



