Kap. V. Rechtwinkliger Schnitt der Kontaktspiralen. 135 



daß diese Spiralen einander rechtwinklig schneiden, sobald q,„ ^„ = — 1 

 ist. Es geht dann die obenstehende F'ormel in diese über: 



Man muß nun in Betracht ziehen, daß in der Gleichung der 

 logarithmischen Spirale rp in Bogenmaß auszudrücken ist, sodaß dies 

 in dieser letzten Formel auch mit b,,, und b,, geschehen muß. Wir 

 können dann b,,, = (/// a — J,„ • 2 jr), b„ = {nix — J„ • 2 ji) setzen, wenn 

 wir die Divergenz a ebenfalls in Bogenmaß ausdrücken. Es ergibt 

 sich alsdann: 



{tu a — A,n • 2 n) (/z a — zi„ • 2 jr) = + m n (lg ä)^ 



Diese Formel stellt also die Beziehung dar, die zwischen 

 a und a in einem ähnlichen Punktsystem auf einer Ebene bestehen 

 muß, wenn die ///- und die //-zeilige Spirale einander rechtwinklig 

 schneiden. Für jeden Wert von a gibt diese Formel einen zu- 

 gehörigen von a, und mit diesen beiden läßt sich dann das Punkt- 

 system mit rechtwinkligem Schnitt der m- und ?«-zeiligen Spiralen 

 herstellen. Für die Berechnung ist es einfacher, a in Graden aus- 

 zudrücken und den BRiGGschen Logarithmus statt des NAPiERschen 

 zu benutzen, man schreibt dafür die Formel in dieser Gestalt: 



'°^«= 180x130259 |/±(^^««"-°<)(-^-^««") <^«) 



§ 3. Rechtwinkliger Schnitt von Kontaktspiralen. 

 Sind nun durch die Formel (48) die ähnlichen Punktsysteme, in 

 denen die zugeordneten m- und «-zeiligen Spiralen einander recht- 

 winklig schneiden, bestimmt, so bleibt jetzt die Frage übrig, daraus 

 diejenigen zu wählen, um deren Punkte ein ähnliches System 

 tangierender Kreise möglich ist. Nun wurde die Beziehung, welche 

 zwischen a und a bestehen muß, damit um die Punkte ein solches 

 System mit Kontakten ui und n beschrieben werden kann, dar- 

 gestellt durch P'ormel (40): 



m a 



noi — 1 + « 

 cos^ 



Wenn man also diejenigen Werte von a und a bestimmt, welche 

 gleichzeitig den Formeln (40) und (48) genügen, so wird man mit 

 diesen Werten ein ähnliches Punktsystem beschreiben können, um 

 dessen Punkte eine ähnliche Kreiskonstruktion mit rechtwinkligen 

 Kontakten w und n möglich ist. 



Die Berechnung dieser Werte für bestimmte Größen von m 

 und n ist wieder mit Schwierigkeiten verbunden und kann nur 

 durch ein Annäherungsverfahren ausgeführt werden. Wir wählten dazu 

 wieder eine graphische Methode. Die Tabelle XIII (S. 123) enthält in 

 der dritten Kolumne das Resultat dieser Berechnungen für die 

 Kontakte aus der ersten Kolumne. Es sind dabei auch die zuge- 

 hörigen Werte von (o und b angegeben. Die geometrischen Kon- 

 struktionen, die diesen Kontaktfällen entsprechen, wurden auf 

 Tafel VI in den Fig. 2, 4, 6, 8, 11 und 13 wiedergegeben und sind 

 bereits im vorigen Kapitel behandelt worden. In der graphischen 



