Dritter Abschnitt. 



Einfache Systeme auf einer Kreiskegelfläche. 



Kapitel I. Ähnliche Punktsysteme auf einer Kreiskegelfläche. 



§ 1. Definition. Unter einem „ähnlichen Punktsystem auf 

 einer Kreiskegelfläche" werden wir ein solches verstehen, das der- 

 art beschaifen ist, daß die Strahlenbüschel, die man durch Ver- 

 bindung von verschiedenen Punkten mit allen anderen Punkten be- 

 kommt, immer ähnlich sind. 



Es lassen sich wiederum, je nach der Lage der Punkte, zwei 

 verschiedene Fälle unterscheiden: 



a. Die Strahlenbüschel, die man durch die Verbindung von 

 verschiedenen Punkten mit allen anderen erhält, sind ausschließlich 

 solche, die durch eine Vergrößerung oder Verkleinerung in kon- 

 gruente Strahlenbüschel übergehen können, welche sich zur Deckung 

 bringen lassen. 



b. Diese verschiedenen Strahlenbüschel sind zwar durch eine 

 Vergrößerung oder Verkleinerung in kongruente überzuführen, je- 

 doch gibt es darunter Spiegelbilder. 



Wir werden im Folgenden nur die erste Art Punktsysteme 

 betrachten ^). 



§ 2. Haupteigenschaften. Betrachten wir ein ähnliches 

 Punktsystem auf einer Kreiskegelfläche und denken wir uns dasselbe 



1) Ich hoffe später an anderer Stelle nachzuweisen, daß auch die zweite Art Punkt- 

 systeme interessante Aussichten eröifnet, es möge dies an einem einfachen Beispiel hier 

 erläutert werden. Man denke sich eine unendliche Serie Kugeln, deren Radien eine 

 geometrische Reihe mit dem Quotienten 0,526 bilden (diese Zahl wurde durch eine An- 

 näherungsmethode berechnet). Eine der Kugel bekommt die Nummer 0, die folgende 

 kleinere die Nummer 1 usw. Man stelle nun die Kugel an die Kugel 1, die Kugel 2 

 an und 1, die Kugel 3 auf 0, 1 und 2. Es wird nun die Kugel 4 gerade einen 

 solchen Durchmesser besitzen, daß sie in den Raum zwischen die Kugeln 0, 1, 2 und 

 3 gebracht, alle vier tangiert. Es muß alsdann auch Kugel 5, falls sie in den Raum 

 zwischen die Kugeln 1, 2, 3 und 4 gebracht wird, diese letzten Kugeln gleichfalls tan- 

 gieren. So kann man jede folgende Kugel im Zwischenräume von 4 vorhergehenden 

 tangierend aufstellen. Aber auch Kugeln mit größerem Durchmesser als die Kugel 

 können um diesen Kugelstapel herum aufgestellt werden. Die Mittelpunkte aller dieser 

 Kugeln werden dann ein Punktsystem bilden, das derart sein muß, daß jeder Punkt allen 

 anderen gegenüber in ähnlicher Weise liegt. Man sieht leicht ein, daß es sich hier 

 um ein System der zweiten Art handelt. Es läßt sich nun nachweisen, daß die Mittel- 

 punkte sämtlich auf einer und derselben Kreiskegelfläche mit dem Scheitelwinkel +55" 

 liegen. Die Divergenz dieses Systems beträgt etwa 118°. 



