140 Dritter Abschn. Einfache Systeme auf einer Kreiskegelfiäche. 



durch ein zweites kongruentes überdeckt, welches wir als veränder- 

 lich annehmen werden , während das erste als fest betrachtet wird. 

 Bezeichnen wir ferner die Punkte des festen mit a„, b^,, c„ usw. 

 und die entsprechenden des beweglichen mit a, b, c usw., so 

 können wir den aus einem Punkt a des beweglichen Systems ge- 

 zogenen Strahlenbüschel in folgender Weise mit dem Strahlenbüschel 

 aus dem Punkt b„ des festen zur Deckung bringen: Wir denken uns 

 das bewegliche System derart verkleinert oder vergrößert, daß da- 

 bei der Scheitel der Kegelfläche auf seinem Platz bleibt und daß 

 das Strahlenbüschel aus a demjenigen aus b^ kongruent wird, dar- 

 auf bringen wir a durch eine Rotation um die Achse der Kreis- 

 kegelfläche auf b„. 



Nach der beschriebenen Deckbewegung wird der Punkt b 

 des beweglichen Systems auf einen Punkt g des festen fallen, der 

 Punkt c auf einen Punkt d„ usw. 



Es wird dann aber einleuchten, daß die Punkte a^„ b,„ Co, dg usw. 

 auf einer Schraubenlinie auf der Kegelfläche oder Kegel- 

 loxodrome liegen, d. h. einer Kurve auf der Kegelfläche, welche 

 die beschreibenden Linien unter konstantem Winkel schneidet. 



Nach dem, was wir von den ähnlichen Punktsystemen auf 

 einer Ebene in Kap. I § 2 des vorigen Abschnitts sagten, bedarf 

 es nun keines weiteren Beweises, daß man alle Punkte eines ähn- 

 lichen Punktsystems auf einer Kreiskegelfläche auf eine Schar 

 paralleler Kegelloxodromen ordnen kann. Wird die Anzahl dieser 

 Loxodromen durch /// gegeben, so muß jede dieser Kurven durch 



360° 

 eine Drehung um einen Winkel von um die Achse der Kegel- 

 fläche mit der folgenden zur Deckung gebracht werden. 



Es sind dann wieder die Punkte dieser ähnlichen Punktsysteme 

 als Schnittpunkte zweier Scharen Kegelloxodromen aufzufassen. 

 Sind alle Schnittpunkte der beiden Scharen auch Schnittpunkte des 

 Systems, so werden wir die Kegelloxodromen wieder zugeordnet 

 nennen. 



Die ähnlichen Punktsysteme auf einer Kreiskegelfläche lassen 

 sich wieder in gleicher Weise wie die ähnlichen auf einer Ebene 

 und die regelmäßigen auf einer Kreiszylinderfläche in 6 Arten ein- 

 teilen (man siehe S. 11 und 102). Für unseren Zweck genügt eine 

 Einteilung in Systeme, bei welchen mehrere Punkte in derselben Ent- 

 fernung vom vScheitel liegen und in solche, bei denen das nicht der 

 Fall ist. Erstere heißen wieder mehrfache, letztere einfache Systeme, 

 und nur diese zweite Art kommt vorläufig hier in Betracht. In diesen 

 einfachen ähnlichen Punktsystemen kann man alle Punkte in einer 

 einzigen Kugelloxodrome aufnehmen, und zwar gibt es unendlich 

 viele solcher Loxodromen, von denen jedoch nur die kürzeste (d. i. 

 die steilste) in Betracht gezogen wird und als Hauptspirale be- 

 zeichnet werden soll. Man kann dann wieder die Punkte diese 

 Spirale entlang numerieren und wir werden dabei immer denjenigen 

 Punkt der Zeichnung, der in grölker Entfernung vom Scheitel liegt, 

 mit Nummer bezeichnen. Die (steilste) Kegelloxodrome, die durch 

 die Punkte o und /// gezogen werden kann, wird wieder die 

 ///-zeilige Spirale genannt, und es wird deutlich sein, daß alle Punkte 

 des Systems auf einer Schar von /// kongruenten, parallelen Kegel- 



