Kap. I. Ähnliche Punktsysteme auf einer Kreiskegelfläche. 143 



selbe Verkürzung. Die horizontale Projektion besitzt demnach auch 

 das Hauptverhältnis a des Systems auf der Kegelfläche. 



Die sekundäre Divergenz eines Punktes des ähnlichen Systems 

 auf der Kegelfläche ist auch wieder dieselbe wie diejenige seiner 

 horizontalen Projektion im ähnlichen Punktsystem auf der Ebene. 

 Dasselbe gilt für die enzyklische Zahl eines Punktes und für die 

 seiner Projektion. Haben also die Formeln (1) und (2) für eines 

 dieser zwei Systeme Geltung, so muß das auch für das andere der 

 Fall sein. Nun haben wir schon im vorigen Abschnitt diese beiden 

 Formeln für die ähnlichen Punktsysteme auf der Ebene abgeleitet 

 und somit ist der Beweis auch für die ähnlichen Punktsysteme auf 

 der Kegelfläche gegeben. (Man vergleiche die Bemerkung am 

 Schluß des vorigen Paragraphen.) 



§ 5. Systeme auf der abgerollten Kreiskegelfläche. 

 Man denke sich die Kreiskegelfläche nach einer beschreibenden 

 Linie, wozu wir meistens diejenige durch den Punkt o wählen 

 werden, aufgeschnitten und auf eine Ebene abgerollt. Es wird dann 

 die Kreiskegelfläche auf dieser Ebene dargestellt durch einen 

 Winkel, der alle Werte von 0*^ bis .360*^ besitzen kann. Nennen 

 wir diesen Winkel C und denken wir um den Scheitelpunkt einen 

 Kreis mit dem Radius P., beschrieben, so wird, wenn 'Q in Bogen- 

 maß ausgedrückt ist: 



liPo^'lTiOo oder: t.=^2n-^ 



also: 



C = 2;rsin-^ = 2 7riV (51a) 



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oder, wenn l, in Graden ausgedrückt wird: 



C = iV-360o (51b) 



Die Kegelloxodromen gehen beim Abrollen der Kegelfläche 

 auf einer Ebene in logarithmische Spiralen über, welche den Scheitel- 

 punkt des Winkels als Zentrum besitzen. Es schneiden ja die ab- 

 gerollten Kurven die Strahlen, welche vom Scheitel aus gezogen 

 werden, unter einem konstanten Winkel. Jedoch muß dabei be- 

 merkt werden, daß diese logarithmischen Spiralen an den begrenzen- 

 den Linien des Winkels aufhören, um an der anderen Seite wieder 

 anzufangen. Es kommen also in dieser abgerollten Figur nur Teil- 

 stücke von logarithmischen Spiralen vor. 



Das Punktsystem, das durch die Schnittpunkte dieser logarith- 

 mischen Spiralen gebildet wird, ist also nicht vollständig mit einem 

 ähnlichen zu vergleichen, aber es wird dennoch mit einem solchen in 

 zahlreichen Punkten übereinstimmen. Wir werden die Stücke der 

 logarithmischen Spiralen, welche die Hauptkegelloxodrome darstellen, 

 die „Hauptspirale im abgerollten System" nennen und können dann 

 wieder die Punkte in kontinuierlicher Weise numerieren. Die Leit- 

 strahlen nach den aufeinander folgenden Punkten dieser Spirale 

 werden dieselben Längen besitzen wie die Leitstrahlen vom Kegel- 

 scheitel nach diesen Punkten; also ist das Hauptverhältnis des ab- 

 gerollten Systems gleich a zu setzen. 



Bewegt man sich die Hauptspirale (auf der abgerollten Kegel- 

 fläche) entlang von einem' Punkt nach dem folgenden, so wird man 



