Kap. III. Ähnl. Syst. tang. Kreise a.e.Kreiskegelfl. AUgem. Betracht. 147 



Ebene abgerollt, einen wirklichen Kreis liefert. Hiernach wird es 

 deutlich sein, daß wir in diesem Kapitel besonders die abgerollten 

 Systeme behandeln werden. 



Fertigt man auf die im vorigen Kapitel besprochene Weise 

 auf einer abgerollten Kreiskegelfläche eine konforme Abbildung 

 von einem „regelmäßigen System tangierender Kreise auf einer 

 Kreiszylinderfläche" an, so werden zwar die zylindrischen Schrauben- 

 linien übergehen in logarithmische Spiralen, deren Schnittpunkte 

 ein abgerolltes ähnliches Punktsystem auf einer Kreiskegelfläche 

 darstellen, jedoch werden die Kreise dabei in Kurven von sehr 

 kompliziertem Charakter übergeführt. Dasselbe gilt auch, wenn 

 wir auf dem Sektor die Abbildung eines ,, ähnlichen Systems tan- 

 gierender Kreise auf einer Ebene anfertigen"^). 



Auch jetzt läßt sich nicht ä priori auf die Möglichkeit einer 

 Existenz von „ähnlichen Systemen tangierender Kreise auf einer 

 Kreiskegelfläche" schließen. Wir werden dennoch in dem folgenden 

 Paragraphen diese nachweisen. 



Hier bemerken wir noch, daß, wenn es solche Systeme gibt, 

 darin wieder jeder Kreis allen anderen gegenüber ähnlich liegt, 

 und daß also, wenn der Kreis o den Kreis in tangiert, dieser 

 letztere wieder den Kreis 2 in tangieren muß usw., und daß dann alle 

 Kreise des Systems auf einer Schar von ///-parallelen Kegelloxo- 

 dromen zu ordnen sind. Wir werden in diesem Fall wieder von 

 einem ///-zeiligen Kontakte sprechen. Tangiert der Kreis o außer- 

 dem noch den Kreis n, so besteht der zweizählige Kontakt /// und //. 



§ 2. Die Beziehung zwischen a und a für zweizählige 

 Kontakte. Verbindet man auf der abgerollten Kreiskegelfläche 

 mit ///, diesen Punkt mit 2 ///, diesen mit 3 /// usw. und halbiert 

 man die Winkel, welche die Leitstrahlen nach diesen Punkten 

 bilden, so werden dadurch die Verbindungslinien in Stücke geteilt, 

 die das Verhältnis a,n zeigen. Nach dem, was wir auf S. 113 u. f. 

 für die Systeme auf der Ebene sagten, kann ein Beweis -hierfür als 



überflüssig betrachtet werden. Auch wird ein Hinweis auf jene 

 Ableitungen genügen, um einzusehen, daß ein Kreissystem mit 

 w-zeiligem Kontakt entsteht, wenn wir in Fig. 34, welche die ab- 



1) Die Kreise gehen hierbei in Lemniscaten von der Ordnung — — über. 



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