150 Dritter Abschn. Einfache Systeme auf einer Kreiskegelfläche. 



Es läßt sich mit dieser Formel co' berechnen, wenn a und a für 

 das System gegeben sind. 



Wir werden nun den Faktor b für die ähnlichen Systeme 

 tangierender Kreise auf einer Kreiskegelfläche definieren als das 

 Verhältnis des Winkels o' zu dem Sektorwinkel der abgerollten 

 Fläche, den wir mit C bezeichnet haben. 



Es wird also nach (51) S. 143: 



Die Formeln (59) und (60) erlauben die Berechnung von b für 

 jedes System, es muß also auch wieder möglich sein, die Beziehung 

 zwischen b und a graphisch darzustellen; es wird dies im folgenden 

 Kapitel näher besprochen werden. 



§ 5. Eigenschaften der ähnlichen Systeme tangie- 

 render Kreise auf einer Kreiskegelfläche. Mehrere Eigen- 

 schaften, welche wir im vorigen Abschnitt für die „ähnlichen Systeme 

 tangierender Kreise auf einer Ebene" nachwiesen, lassen sich in voll- 

 kommen gleicher Weise auch für diese Systeme auf der Kegelfläche 

 beweisen. vSo wird es klar sein, daß, falls Ji > iii ist, die «-zeilige 

 Kegelloxodrome steiler ist als die ///-zeilige. Ebenso lassen sich die 

 Regeln, welche wir dort für die Richtung der Spiralen bei dreizähligen 

 und zweizähligen Kontakten ableiteten (S. 1 19 u. L20), in unveränderter 

 Form auf diese Kreissysteme anwenden. Aus diesen Eigenschaften 



folgt dann wieder, daß, falls «<2;// ist: =!^^^-±^ • 360« S a < — • 360» 



m-\-n ^ > n 



ist. Auch können wir wieder in dem abgerollten System den geo- 

 metrischen Ort von bestimmten Kreismittelpunkten konstruieren 

 und auf diese Weise die abgerollten „Verschiebungskurven" erhalten, 

 wir brauchen dazu nur die Gleichung (56) in Polarkoordinaten dar- 

 zustellen. Endlich kann auch hier nachgewiesen werden, daß bei 

 kontinuierlicher Abnahme von b oder Zunahme von a die Mög- 

 lichkeit besteht, daß man immer in Kontakten aus einer Reihe ///, 

 71, III + n, m -|- 2 ;/ usw. bleibt, daß man aber auch in andere Reihen 

 übergehen kann. Niinmt man diese Anwesenheit eines Druckes in 

 einem System von Kreisen, die man sich dabei als materielle Scheiben 

 zu denken hat, an und zwar eines Druckes, welcher die beschrei- 

 benden Linien entlang und vom Scheitel weggerichtet ist, dann ist 

 damit die Notwendigkeit geschaffen, daß bei kontinuierlicher Ab- 

 nahme von b oder Zunahme von a die Kontakte einer Reihe in, 

 n, III + n, III -\- 2 11 usw. durchlaufen werden. 



Daß man beim Fortrücken in einer bestimmten Kontaktreihe 

 /, <] dieselbe Fimitdivergenz wie bei den „regelmäßigen Systemen 

 tangierender Kreise auf einer Kreiszylinderfläche" erreichen wird, die 



durch die Formel - — •360*' dargestellt wird (man siehe S. 59), 



läßt sich auf ganz dieselbe Weise ableiten, wie das für die Systeme 

 auf der Kreiszylinderfläche geschehen ist. Dieselben Kontaktreihen 

 haben also auf allen Kegelflächen, auf der Ebene und auf der 

 Zylinderfläche dieselbe Limitdivergenz. 



