Kap. IV. Ähnl. Syst. tang. Kreise a. e. Kreiskegelfl. Zahlenanwendgn. 151 



Kapitel IV. Ähnliche Systeme tangierender Kreise auf einer 

 Kreiskegelfläche, Zahlenanwendungen. 



§ 1. Die Beziehung zwischen a und a für verschiedene 

 Werte von ly. Die Gleichung (56) ist allgemein gültig, also auch 

 wenn \p = 180^, d. h. A'' =: 1 wird, sie geht dann über in: 



cos --TT- 



_ 1 + «'■ 



na. \-\- a^' 

 cos — r— 



V«"- 



also in die Beziehung (40), die wir im vorigen Abschnitt für „ähnliche 

 Systeme tangierender Kreise auf einer Ebene" ableiteten (S. 115). 

 Es war dies zu erwarten, denn wenn \p = 180^ ist, geht die Kegel- 

 fläche über in eine Ebene. 



Setzt man y> = 0^, also in der Gleichung (56) iV = 0, so wird 

 dieselbe: 



1 + rz" 



und dieser Eormel kann nur dann genügt werden, wenn a = 1 wird. 

 Auch dies war zu erwarten, denn für ?/' = 0** geht die Kegelfläche 

 über in eine Ivreiszylinderfläche und die Kreise eines regelmäßigen 

 Systems darauf haben gleiche Durchmesser. 



Es kommen also in diesem Kapitel diejenigen Werte von A^ 

 in Betracht, welche zwischen 1 und gelegen sind. 



Nehmen wir den Fall m = 0,n=l,d. h. J„, = 1, zJ„ = (siehe S. 33), 

 so geht dabei die Gleichung (56) über in: 



cosA^. 180*> 2V^ 



— ^— = 1+^ ''!» 



cos AA — 



JVoc 

 Es ist hierin —^ ^ 90" und es muß also auch ^V • 180° 



^ OO*' sein, denn sonst könnte das erste Glied dieser Gleichung 

 nicht positiv sein wie das zweite. Es folgt hieraus, daß die Glei- 

 chung (61) nur Geltung hat, wenn ^ '^ ■^, also nach (50): i/; i^ 60° 

 und nach (51b): C £ 180° ist. 



Die Systeme mit dem Kontakt und 1 sind also 

 nur möglich auf Kreiskegel flächen, deren Scheitel- 

 winkel kleiner oder gleich 60", deren abgerollte Scheitel- 

 winkel mithin kleiner oder gleich 180° sind. 



Betrachten wir jetzt den Fall /// = 1, n ^= l, d. h. J„^ = 1, 

 /!„ = 0, so geht (56) über in: 



cos A^ 



cos A' — 



(62) 



Es wird dieser Gleichung für jeden Wert von N nur durch 

 a = 180° genügt. Es folgt hieraus, daß Systeme mit dem 



