158 Dritter Abschn. Einfache Systeme auf einer Kreiskegelfiäche. 



für die a sehr klein ist, nur drei Schnittkurven auftreten können 

 und zwar mit den Flächen ABCD, ABE und AEFG. Dies wird 

 so bleiben bis die horizontale Ebene durch den Punkt F dieser 

 Darstellung geht. Da nun dieser Punkt dem dreizähligen Kontakt 

 1, 2 und o für Kreiskonstruktionen auf einer Ebene entspricht und 

 nach Tabelle XIV (S. 126) a = 0,846013, a = 128° 10' 22", xp = 180°, 

 so folgt hieraus folgender wichtiger Schluß: 



Mit Werten von a, die kleiner sind als 0,846018, können nur 

 Systeme mit dem Kontakt und 1, 1 und 1 oder 1 und 2 dar- 

 gestellt werden. 



Ferner läßt sich leicht folgende Regel einsehen: 



Mit Werten von a, die zwischen 0,846018 und 0,01(51 (Kontakt 1, 

 8 und 4) liegen, lassen sich Systeme mit dem Kontakte und 1, 

 1 und 1, 1 und 2, 2 und 8 oder 1 und 8 anfertigen. 



Solche Regeln lassen sich in einfacher Weise vermehren. 



Aber auch in anderer Hinsicht läßt die gegebene Betrachtung 

 und besonders die Darstellung IV auf Tafel III wichtige Schlüsse zu. 



So folgt daraus, dal') dieselben Kontaktfälle mit größeren 

 Werten von a nur auf steileren Kegelflächen möglich sind; z. B. 

 ist der Kontakt 1 , 2 und 8 mit a — 0,5 auf einer Kegelfläche vom 

 Scheitelwinkel von + 118 ^ mit a = 0,8 auf einer solchen vom 

 Scheitelwinkel von +47<> möghch. 



Von besonderer Wichtigkeit ist noch folgende Überlegung: 



Betrachtet man eine Reihe Konstruktionen mit demselben 

 Wert von a, so kann man sich diese durch kontinuierliche Zu- oder 

 Abnahme von y in einander übergehend denken. Aus der genannten 

 Darstellung geht nun hervor, daß man durch Zunahme von i/' immer 

 h()here Kontaktfälle finden muß, durch Abnahme niedrigere. Durch 

 kontinuierliche Abnahme von ip muß man die Kontakte einer 

 Kontaktreihe ni , ;/, in-\-n, i)i-\-2 7i usw. durchlaufen; durch eine 

 Zunahme kann man jedoch auch in andere Reihen übergehen. 



Denkt man sich also eine unveränderliche Serie Kreise, deren 

 Radien eine geometrische Reihe bilden, auf einer Kegelfläche mit 

 veränderlichem Scheitelwinkel derart aufgestellt, daß immer ein 

 Kontaktsystem bestehen bleibt, so wird man beim Steilerwerden 

 der Kegelfläche niedrigere, beim Flacherwerden höhere Kontakte 

 beobachten müssen. 



Auch hier wird unter der Voraussetzung, daß die Kreise 

 materielle Scheiben sind, die Annahme eines Druckes, der vom 

 Scheitel aus die beschreibenden Linien entlang wirkt, genügen, um 

 auch beim Flacherwerden der Kegel die Kontakte eine bestimmte 

 Kontaktreihe ///, ?/, /// + n, ni -\-2 n usw. durchlaufen zu lassen. 



i^ 7. Die Beziehung zwischen b und a. Nachdem wir ge- 

 sehen haben (S. 144), daß die „ähnlichen Systeme tangierender Kreise 

 auf der Kreiskegelfläche" als ein KcttengUed betrachtet werden 

 können zwischen den ähnlichen auf der Ebene und den regelmäßigen 

 auf einer Kreiszylinderfläche, so wird man von vornherein erwarten 

 können, dal') die Beziehung zwischen b und a für erstere Systeme 

 auch mit derjenigen, welche wir für die beiden letzteren fanden, Über- 

 einstimmung zeigen wird. Wir bringen nämlich in Erinnerung, 

 daß die graphische Darstellung dieser Beziehung für Ebene und 

 Zylinderfläche vom Kontakte 1 , 2 und .") ab gerechnet, praktisch als 

 identisch betrachtet werden konnte (man siehe Darstellung II 



