Kap. VI. Eigenschaften der Folioide. 167 



Fig. 11 zeigt das System mit rechtwinkligem Kontakt 1 und 3, 

 Fig. 12 ist der dreizählige Kontakt 1, 3 und 4, während Fig. 13 

 den rechtwinkligen 3 und 4 darstellt und Fig. 14 das System mit 



dem Kontakt 1 und 4 und einer Divergenz a = —•360'^ =^ 90^. 



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Das System der Fig. 12 kann durch kontinuierliche Abnahme von 



d oder Zunahme von a, sowohl in das System der Fig. 13 als in 



dasjenige der Figur 14 übergehen. 



Endlich gibt Fig. 15 das System mit dem Kontakte 2 und 5 

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 und der Divergenz ^-360^ = 144° wieder. Die Fig. 6 kann also 



durch kontinuierliche Abnahme von ö oder Zunahme von a sowohl 

 in Fig. 7 als in Fig. 15 übergehen. 



Die Folioiden ein und derselben Konstruktion sind in allen 

 unseren Figuren natürlich ähnlich, aber die Folioiden der verschie- 

 denen Systeme zeigen unter einander große Verschiedenheit, es 

 wird diese im folgenden Kapitel näher besprochen werden und da- 

 bei wird auch die Frage beantwortet werden, wie sich unsere Kon- 

 struktionen bei Anwendung anderer Kegelflächen gestalten würden. 



Kapitel VI. Eigenschfifteii der Folioide. 



§ 1. Die Gleichung der Folioide. Die Bedeutung, 

 welche die Folioide für unsere weiteren Betrachtungen besitzt, macht 

 eine nähere Besprechung dieser Kurve wünschenswert, umsomehr, 

 da dieselbe, soweit mir bekannt ist, bis jetzt noch nicht beschrieben 

 wurde. Es möge zunächst die Gleichung der Kurve abgeleitet 

 werden. 



Bezeichnet man auf dem abgerollten System (man siehe 

 Fig. 36a) den Leitstrahl vom Scheitel T nach einem willkürlichen 

 Punkt eines Kreises mit g\ den Winkel, den dieser Leitstrahl mit 

 demjenigen nach dem Kreismittelpunkt bildet mit 6', den Leitstrahl 

 nach diesem Mittelpunkt mit d' und den Radius des Kreises mit r', 

 so kann man die Gleichung dieses Kreises in Polarkoordinaten wie 

 folgt schreiben: 



^'2 -2Q'd' cos d' + öf' 2 _ ^'2 ^ 



Nennen wir den Leitstrahl, welcher in der horizontalen Projektion 

 q' entspricht, q, den Winkel, der darin ß' entspricht, 0, so ist: q = JVg' 



und 9 = ^rx' Wir können also die obige Gleichung auch schreiben : 



JV 



Q^-2Qd' jVcos NO + (^'2 - r'2) A^2 ^ o 



Wir setzen N d' = d und Nr' = r, sodaß d den Leitstrahl in der 

 Projektion vom Zentrum nach dem Mittelpunkt der Folioide darstellt, 

 und r die Projektion des Kreisradius. Es läßt sich dann der Formel 

 folgende Form geben: 



^2 _ 2 ^ dcos NO + ^/2 -r^ = (63) 



Diese Formel gibt die Beziehung, welche zwischen den Werten g 

 und für einen willkürhchen Punkt der FoHoide bestehen muß; 

 sie stellt also die Gleichung dieser Kurve in Polarkoordinaten dar. 



