168 Dritter Abschn. Einfache Systeme auf einer Kreiskegelfläche. 



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Setzt man q — "i x'^-^y"- und B = arctg-, so kann man die 



Gleichung in rechtwinkligen Koordinaten schreiben, sie bleibt aber 

 transzendent. Die P^olioide gehört also zu den transzendenten Kurven. 



Den Punkt O werden wir den Pol, den Punkt M das Zen- 

 trum der Folioide nennen, r ihren halben Durchmesser. 



Aus ihrer Gleichung geht unmittelbar hervor, daß die Kurve 

 symmetrisch ist in Bezug auf die Linie, welche den Pol mit dem 

 Zentrum verbindet. Da ja cosiVÖ = cos — iVö ist, so muß, falls q, 

 6 ein Punkt der Kurve ist, auch q, — 6 ein solcher sein. 



§ 2. Schnittpunkte mit Strahlen, die aus dem Pol ge- 

 zogen sind. Ein Strahl aus dem Pol kann allgemein dargestellt 

 werden durch 6 — a„-{- k-2 Ji, wenn a^ eine Konstante und k — 

 + (0, 1, 2, 3, 4 usw.) ist. Will man also die Schnittpunkte der Foli- 

 oide mit einem solchen Strahl bestimmen, so hat man diesen Wert 

 von 6 in die Gleichung (63) einzusetzen. Es leuchtet ein, daß man 

 dann unendlich viele zugehörige Werte von g finden wird. Für 

 einen bestimmten Wert von k aber hat auch eine bestimmte 

 Größe und dafür werden aus (63) zwei solche für g gefunden. 

 Nennen wir diese zusammengehörigen Werte g^ und g.,, so muß, 

 wie aus dieser Formel hervorgeht: 



g^ g^ = d^^ — ^'2 _ konstant (64) 



sein. Hieraus folgt, daß das Produkt zweier Radii vectores, welche 

 zu ein und demselben Wert von B gehören, konstant ist. 



Ist ^1 reell, so muß das nach (64) auch ^2 sein, und umgekehrt, 

 ist dagegen g^ imaginär, so ist es auch ^2 und umgekehrt. Die Schnitt- 

 punkte mit einem Strahl aus dem Pol sind also in Paaren zu 

 ordnen, die reell oder imaginär sein können. 



Die Form der Folioide, welcher wir bis jetzt begegneten, ist 

 derart, daß nur zwei reelle Schnittpunkte auf einem Strahl zu finden 

 sind. Wir werden aber auch andere Formen dieser Kurve kennen 

 lernen, wobei mehrere reelle Schnittpunkte angetroffen werden. 



Betrachten wir zunächst nur die erste Form, die wir als die 

 „einfache Folioide" bezeichnen wollen, so gilt dafür die Regel: Das 

 Produkt der Radii vectores nach den Schnittpunkten , welche auf 

 ein und demselben Strahl aus dem Pol gelegen sind, ist konstant. 



Die zwei Schnittpunkte auf einem Strahl fallen zusammen, 

 wenn dieser Strahl die Folioide tangiert. Nennt man also den 

 Leitstrahl nach diesem Berührungspunkt gu so wird: 



Qt = id^ — r"^ 

 Hieraus folgt, daß sich gt konstruieren läßt als Kathete eines recht- 

 winkhgen Dreiecks, dessen Hypothenuse gleich d und dessen andere 

 Kathete gleich r ist. 



§ 3. Die Folioide, abgeleitet aus einem Kreise. Der 

 Kreis, welcher um den Punkt M mit dem Radius r beschrieben 

 werden kann (man siehe Figur 37), wird in Polarkoordinaten (O als 

 Pol betrachtet) dargestellt durch: 



g'^-2gdco?,i)-V d'^ -r'- == 0. 



Wenn man nun diese Formel mit derjenigen (63) vergleicht, so findet 

 man als einzigen Unterschied, daß in letzterer cosiVÖ statt cosö 



