170 Dritter Abschn. Einfache Systeme auf einer Kreiskegelfläche. 



§ 4. Formen der einfachen Folioide. Aus dem Gesagten 

 lassen sich noch einige Schlüsse ziehen auf die Verschiedenheit der 

 Formen, in denen die einfachen Folioidcn auftreten und worauf wir 

 schon bei der Beschreibung der geometrischen Konstruktionen ähn- 

 Hcher Folioidensysteme hingewiesen haben. 



Je nachdem nämlich in unserer Figur (37) der Winkel A,, O A 

 großer wird, mufj auch die Folioide eine stärker gekrümmte 

 Gestalt annehmen. Es läßt sich also dieser Winkel als ein Maß 

 für die Abweichung von der Kreisgestalt betrachten. Nun läßt 

 sich für diesen Winkel folgende Formel angeben: 



^A.OA = ^{i.-l] (66) 



Betrachten wir die Folioide wieder als die Projektion eines Kreises 

 auf einer Kreiskegelfiäche, so hängt also ^A„OA ab von dem 

 Winkel (o)'), unter dem auf der abgerollten Fläche dieser Kreis ge- 

 sehen wird, und von dem Faktor JV, d. h. von dem Scheitelwinkel 

 der Kegelfläche. 



Wenn o)' größer wird , muß /i. Ao O A zunehmen , wenn 

 JV größer wird, abnehmen. Betrachtet man also auf Kegelflächen 

 mit ein und demselben Scheitelwinkel Kreise, welche unter verschie- 

 denen Winkeln gesehen werden, dann müssen diejenigen Kreise, 

 welche man unter größeren Winkeln sieht, bei der horizontalen 

 Projektion stärker gekrümmte Folioiden liefern. Wird der Winkel, 

 unter dem der Kreis gesehen wird, klein, so nähert sich die Folioide 

 einem Kreis, aber erst, wenn der Winkel wird, geht die Folioide 

 in einen wirklichen Kreis über. Man wird sich von der Richtig- 

 keit dieser Schlüsse überzeugen, wenn man die verschiedenen Fo- 

 lioiden , welche in den Figuren 4 bis 6 der Tafel IX und auf 

 Tafel X angetroffen werden , miteinander vergleicht. Es sind ja 

 alle diese Figuren Projektionen von Kreissystemen auf einer Kreis- 

 kegelfläche für die )/' = 28*^ 57' 18" ist, und die Folioiden werden 

 in den verschiedenen Systemen unter sehr verschiedenen Winkeln 

 gesehen. 



Betrachtet man Kreise, welche auf Kegelflächen mit ver- 

 schiedenen Scheitelwinkeln liegen, jedoch alle unter demselben 

 Winkel geschep werden, so werden die entsprechenden Folioiden 

 umso stärker gebogen sein, je kleiner der Scheitelwinkel ist. Wird 

 der Scheitelwinkel flacher, so nähert sich die Folioide wieder der 

 Kreisform, aber erst wenn y> = 180*' ist, geht die Folioide in einen 

 wirklichen Kreis über. 



Es sind dies Schlüsse, welche für die Anwendung der mathe- 

 matischen Ableitungen auf die Theorie der Blattstellungen von 

 großer Wichtigkeit sind. 



§ 5. Andere Gestalten der Folioide. Fragen wir zuerst, 

 welchen Bedingungen die Gleichung (63) genügen muß, damit sie 

 die „einfache Folioide" darstellt. Bedenkt man, daJ') dafür der Kreis, 

 dessen horizontale Projektion die Folioide darstellt, nicht mehr als 

 den ganzen Umfang der Kegelfläche umfassen kann und dal^ der 

 vScheitel dieser Kegelfläche nicht innerhalb des Kreises liegen darf, so 

 kann man als Bedingungen für die einfache Form aufstellen: to' ^C 



