Kap. VI. Eigenschaften der Folioicle. 171 



und d' y^r'. Nun ist aber sin-r- = -. = —., also a)^ = 2arcsm~„ während 



dr ^ ^^ ^. ^ 



d' — -z-j., r' — -^ sodaß sich diese Bedingungen auch so schreiben 



f 



lassen: 2 «^r sin -j<A^- 360 *' und dyr. 

 d— — 



Die Fälle, in denen die Gleichheitszeichen gelten, mögen noch 



T 



kurz erläutert werden. Ist 2 rt;'^' sin -^ = iV-360^, so heißt das, daß 



d • 



der Kreis auf der Kegelfläche den ganzen Umfang umspannt. Die 

 Gestalt der P^olioide für diesen Fall ist bereits bekannt, kommt sie 

 doch in den Systemen mit Kontakten und 1 vor, also in den 

 Fig. 4 bis 6 der Tafel IX. Wir wollen noch daran erinnern, daß 

 dieser Kontakt nur möglich war für Kegel, deren ?/^<60*^ ist. Es 

 kann also die Gleichung (63) nur dann eine solche Folioide dar- 

 stellen, wenn A^;^-^ ist 



Li 



Ist d ^ r, so liegt der Kegelscheitel auf dem Kreis. Die 

 zweite Bedingung co' < C kann jetzt nur erfüllt werden, wenn 



C^;;180*' ist, also N^^—. Die Kurve entspricht jetzt der einfachen 

 Formel: 



^ = 2rt^cos^ö 



Es ist auf Tafel IX in Fig. 8 eine solche Folioide abgebildet und 



zwar die horizontale Projektion eines Kreises, der durch den Scheitel 



3 

 einer Kreiskegelfläche geht, für welche t = 270" also iV = — ist. 



Daß diese Kurve noch unter die einfachen Folioiden gerechnet 

 werden muß, geht schon daraus hervor, daß sie ein ähnliches System 

 darstellen kann, und zwar ein solches, für das a = ist. 



Wir bemerken noch, daß alle vorigen Gestalten der Folioiden 

 zwei Wendepunkte zeigten, während bei dieser diese Punkte in 

 einem Eckpunkt zusammenfallen. 



In einem Fall kann dieser Eckpunkt in einen Rückkehr- 

 punkt übergehen. Es geschieht das, wenn in der Gleichung (63) 



iV = — wird, also die Folioide die horizontale Projektion eines 



Kreises darstellt, welcher auf einer Kreiskegelfläche, für die (/' = 60" 

 ist, liegt und wenn dieser Kreis durch den Scheitel geht. Diese 

 Folioide, welche also durch die Gleichung: 



a 



Q = 2 d cos-^ (67) 



gegeben wird, ist in Fig. 7 der Tafel IX dargestellt. 



Endlich mögen auch noch kurz die Fälle erwähnt werden, 

 in welchen die einfache Form komplizierteren Gestalten Platz macht. 

 Wir haben davon in Fig. 9 der Tafel IX ein Beispiel abgebildet 



und zwar den Fall, in dem t/; = 60" und öf = — r ist. Man sieht 



aus unserer Figur, daß die Folioide dann einen Doppelpunkt hat. 

 Es würde uns hier zu weit führen eine vollständige Einsicht 



