172 Dritter Abschn. Einfache Systeme auf einer Kreiskegelfiäche. 



in den Formenreichtum der Folioide, wie sie durch die Gleichung 

 (63) dargestellt wird, zu geben. Das Obige möge genügen für den 

 Nachweis, daß die Form, in der wir dieser Kurve bei den „ähn- 

 lichen Systemen tangierender Folioidcn" begegnet sind, nur eine 

 der vielen möglichen ist. 



Kapitel VII. Rechtwinkliger Schnitt der Kontaktspiralen 

 hei ähnlichen Systemen tangierender Kreise auf einer Kreis- 

 kegelfläche. 



§ 1. Rechtwinkliger Schnitt von zugeordneten Spi- 

 ralen in ähnlichen Punktsystemen auf einer Kreiskegel- 

 fläche. Fragen wir uns zuerst, welche Beziehung in einem ähn- 

 lichen Punktsystem zwischen a und a bestehen muß, damit die 

 111- und die ?z-zeilige Spirale einander rechtwinklig schneiden. 

 Schneiden sich auf der Kegelfläche Kegelloxodromen rechtwinklig, 

 so entspricht das nach dem Abrollen einem rechtwinkligen Schnitt 

 logarithmischer Spiralen. Wir können uns also auch fragen: Welche 

 Beziehung muß zwischen a und a bestehen, damit in dem ab- 

 gerollten System die ///- und die 72-zeilige Spirale einander recht- 

 winklig schneiden? 



Stellen wir die //-j-zeilige Spirale auf der abgerollten Fläche 

 dar durch: 



so gelten, weil diese Spirale durch die Punkte o und ;// geht, die 

 Beziehungen : 



^' = C„ dm <?; und Q,n' = C,„ el'n («P; ± ^«z') 



woraus durch Division folgt: 



a'"- = e-'^^n ^m' oder: q„i ^m = + /''^ lg« 

 Ebenso ergibt sich, wenn die /^-zeilige Spirale durch: 



dargestellt wird, daß: 



q„ ^,' = +nlga 

 ist. Es wird also: 



'/,u qn ^m ^n = ± ^ « (lg «)^ 



Wenn nun die ///- und die ^^-zeihgen Spiralen einander rechtwinkhg 

 schneiden, so muß q,,, q„ = —\ sein, also kann die Bedingung hier- 

 für dargestellt werden durch: 



djdn' = +////2(lgrt)- 



oder nach (53) S. 144: 



N-^d,nd,n = ±mn[\gaY 



Setzt man hierin für r5,„ und ön die Werte ein, die sich aus unserer 

 Gleichung (1) ergeben, so läßt sich die Bedingung in dieser Form 

 schreiben : 



N'^ {m a - A,n ■ 2 n) {n a - J„ • 2 ti) = ± /// n (lg af (68) 



