Kap. VII. Rechtwinkliger Schnitt der Kontaktspiralen. 173 



Aus unserer Ableitung folgt, daß in dieser Gleichung a in Bogen- 

 maß ausgedrückt ist, während der Logarithmus ein „natürlicher" 

 Logarithmus ist. Will man Brigg sehe Logarithmen anwenden und 

 a in Graden ausdrücken, so kann man dazu folgende Form der 

 Gleichung (08) benutzen: 



log a = ""^"^^ -l/ + {— ■ ;'>(iOo - aVa - ^ . ;>,GOo^ (68a) 



^ 180- 2,30259 [' -\/// j\ n j 



Diese Formel unterscheidet sich von Formel 48 (S. 135), welche 

 sich auf die „ähnlichen Punktsysteme auf der Ebene" bezieht, nur 

 durch die Anwesenheit des Faktors N. 



§ 2. Rechtwinkliger Schnitt von Kontaktspiralen. 

 Für alle Werte von a und a, die der Gleichung (68 a) genügen, 

 werden sich die zugeordneten in- und //-zeiligen .Spiralen recht- 

 winkhg schneiden. Damit nun um die Punkte des ähnlichen Punkt- 

 systems ein ähnliches System tangierender Kreise möglich ist, müssen 

 sie auch noch der Gleichung (56): 



cosA^I^ - zJ„. -1800 



l-^a 



cosN (^ - J„-180o 



r+^^^"- 



genügen. Diejenigen Werte von a und a, die gleichzeitig diesen 

 beiden Gleichungen genügen, werden also ähnlichen Systemen 

 tangierender Kreise auf einer Kreiskegelfläche entsprechen, wobei 

 die ///- und die /z-zeilige Kontaktspirale einander rechtwinklig schneiden. 



Um Mißverständnis vorzubeugen, möge bemerkt werden, daß 

 hier unter Kontaktspiralen die Spiralen durch die Mittelpunkte von 

 Kreisen gemeint sind, welche miteinander in Kontakt stehen, und 

 nicht (wie bei Church) solche, die durch die Berührungspunkte 

 dieser Kreise gezogen werden können. 



Es stellt sich nun bei der Berechnung heraus, daß im all- 

 gemeinen für jeden Wert von m, n und N ein reeller Wert für 

 a und a zu finden ist, welcher beiden Gleichungen entspricht. Hier- 

 aus folgt, daß im allgemeinen auf jeder Kegelfläche und mit jedem 

 Kontakte ein System von Kontaktspiralen nachzuweisen ist, die 

 sich rechtw^nkhg schneiden. Wir werden in dem folgenden Para- 

 graphen nachweisen, daß dies für bestimmte Kegelflächen bei dem 

 Kontakte 1 und 1 nicht der Fall ist. Es ist das jedoch die einzige 

 Ausnahme von dieser Regel. 



Fertigt man von einem ähnlichen System tangierender Kreise 

 auf einer Kreiskegelfläche mit rechtwinkligem Kontakte in und n 

 die horizontale Projektion an, so werden sich darin die ni- und 

 die ;?-zeilige Spirale nicht rechtwinklig schneiden. Ja, es gibt 

 selbst mehrere Kontakte, bei denen ein solcher Schnitt nicht mög- 

 lich ist. Für unsere späteren Betrachtungen hat nun aber der 

 rechtwinklige Schnitt der Kontaktspiralen auf der Kreiskegelfläche 

 viel größere Bedeutung. Wir werden deshalb auch den Schnitt 

 bei den ähnlichen Folioidensystemen selbst gar nicht verfolgen. Wo 

 wir weiterhin von „ähnHchen Systemen tangierender FoHoiden mit 

 rechtwinkligen Kontakten" sprechen, so meinen wir damit immer 

 solche, welche die horizontale Projektion von „ähnlichen Systemen 



