174 Dritter Abschn. Einfache Systeme auf einer Kreiskegelfläche. 



tangierender Kreise auf einer Kreiskegelfläche mit rechtwinkligem 

 Schnitt der Kontaktspiralen" darstellen. In diesem Sinne wurde 

 der Ausdruck von uns bereits in § 4 auf Seite 165 gebraucht. 



§ 3. Zahlenanwendung. Die dritte Kolumne der Tab. XVIII 

 (S. 153) enthält die Werte von a und y. für ähnliche Kreissysteme, die auf 



einer Kreiskegelfläche, für welche ^ = 280 57' 18" (iV= j, ^ = ÖO«) 



ist, gelegen sind, und bei welcher der Kontakt der ersten Kolumne 

 angetroffen wird. 



Gröl^tenteils konnten diese Werte nur durch Annäherungs- 

 rechnung gefunden werden, wobei wiederum die graphische Methode 

 angewendet wurde. 



Die Konstruktionen mit Folioiden, welche diesen Werten ent- 

 sprechen, sind bereits früher ausführlich besprochen worden (siehe 

 S. 165); hier weisen wir nur darauf hin, dafj die Werte von a 

 dieser Tabelle zwischen denjenigen Werten von a liegen, welche 

 für die entsprechenden Kontakte auf der Kreiszylinderfläche und 

 auf der Ebene gefunden wurden und welche in der Tabelle XV^II 

 S. 136 nebeneinander gestellt sind. 



Fragen wir uns jetzt, was aus diesen Werten von a und a 

 für andere Kegelflächen wird. Zuerst wollen wir bemerken, daß 

 die 0- und die 1-zeilige Spirale einander nur dann rechtwinklig 

 schneiden, wenn a = 0" ist, denn die 0-zeilige Spirale ist ein hori- 

 zontaler Kreis auf der Kegelfläche, die 1-zeilige wird in diesem 

 Fall eine beschreibende Linie. Es wird nun die Beziehung, welche 

 zwischen a und A^ bestehen muß, damit beim Kontakte und 1, 

 a = 00 wird, gefunden, indem man in der Gleichung (61) S. 151 

 a ^ Qo setzt, sie wird also: 



cosA^.1800 = |J^ (69) 



Es stellt dies in der Raumdarstellung der Beziehung zwischen 

 y, a und a eine Kurve in der Ebene a = dar. In unserer Dar- 

 stellung auf Tafel XI ist dieselbe also nicht sichtbar. Denkt man 

 sich diese gezeichnet, so ist damit die PVage, welche Systeme mit 

 rechtwinkligem Kontakte und 1 möglich sind, gelöst. 



Beim Kontakte 1 und 1 ist die Divergenz immer 180°, also 

 auch beim rechtwinkligen. Die Beziehung, welche bei diesem recht- 

 winkligen Kontakte zwischen a und A^ besteht, wird gefunden, in- 

 dem man in der Gleichung (68 a) /// =1, ?? = 1, A,,, = 0, A„ = 1 

 und a = 1800 setzt, sie wird also: 



nN 



^°^^ = -2:3025^ 

 und kann folglich in ganz einfacher Weise berechnet und gezeichnet 

 werden. Man findet diese Kurve in unserer Raumdarstellung auf 

 Tafel XI angedeutet durch den Ausdruck „Rechtwinklige Kontakte 

 1 und 1". Wie man sieht, endet diese Kurve im Punkt J, woraus 

 folgt, daffi vSysteme mit diesem rechtwinkligen Kontakt nicht auf 

 allen möglichen Kegelflächen realisierbar sind. Der Punkt J ent- 

 spricht einer Kegelfläche, für welche ^' = +1'^^" ist; auf solchen, 

 für die </' größer als dieser Wert ist, können also diese Systeme 

 nicht mehr vorkommen. Es ist dies die Ausnahme, von der im 

 vorigen Paragraphen die Rede war. 



