Vierter Abschnitt. 



Mehrfache Systeme. 



Kapitel I. Mehrfache Punktsysteme. 



§ 1. Definition eines /^-fachen Punktsystems. Sowohl 

 bei der Betrachtung der „regelmäßigen Punktsysteme auf einer 

 KreiszyHnderfläche" als bei der Behandlung der „ähnlichen Punkt- 

 systeme auf einer Ebene" und bei derjenigen „ähnlicher Punkt- 

 systeme auf einer Kreiskegelfläche", kamen wir zu dem Resultat, 

 daß sich diese Punktsysteme in „einfache" und „mehrfache" einteilen 

 lassen. Bei der ersten Art, welche wir in den vorigen Abschnitten 

 ausschließlich betrachteten, konnten alle Punkte des Systems in 

 einer einzigen Spirale, der „Hauptspirale", aufgenommen werden. 

 Bei diesen Systemen konnte darum eine kontinuierliche Nume- 

 rierung der Punkte ausgeführt werden; waren dabei die in- und 

 w-zeilige Spirale zugeordnet, so mußten m und n Primzahlen unter 

 sich sein. Bei der zweiten Art von Systemen ist eine einzige 

 Häuptspirale und damit eine kontinuierliche Numerierung unmöglich. 

 Sind hierbei die Punkte als Schnittpunkte zweier Scharen von m 

 und n Spiralen aufzufassen, so müssen m und n einen gemeinsamen 

 Teiler haben. Während bei den einfachen Systemen auf ein und 

 demselben horizontalen oder konzentrischen Kreise höchstens ein 

 Punkt des Systems angetroffen werden kann, kommen bei den 

 mehrfachen Systemen mehrere Punkte auf demselben horizontalen 

 oder konzentrischen Kreis vor. 



Ein mehrfaches regelmäßiges oder ähnliches Punktsystem, bei 

 welchem ^'-Punkte auf demselben horizontalen oder konzentrischen 

 Kreis angetroffen werden, wollen wir ein „/^-faches regelmäßiges oder 

 ähnliches Punktsystem" nennen. 



Bevor wir nun die Eigenschaften eines solchen /'-fachen Systems 

 ableiten, bemerken wir noch, daß die Tatsache, daß wir die mehr- 

 fachen Punktsysteme auf Zylinderfläche, Ebene und Kreiskegelfläche 

 erst behandeln, nachdem die einfachen Systeme für diese drei Fälle 

 besprochen sind, nicht durch Willkür bestimmt ist. Es wird sich 

 nämlich herausstellen, daß die Eigenschaften der „mehrfachen ähn- 

 lichen Systeme auf der Ebene" nur dann in ihrer Allgemeinheit 

 betrachtet werden können, wenn die Behandlung der ,, einfachen 

 ähnlichen Systeme auf einer Kreiskegelfläche" vorangeht. 



§ 2. Numerierung der Punkte, Hauptspiralen usw. 

 Praktisch wird natürlich immer nur ein Teil eines unendlichen mehr- 



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