180 Vierter Abschn. Mehrfache Systeme. 



fachen Punktsystems betrachtet. Wir werden dann auch den Kreis, 

 durch die niedrigsten Punkte oder durch die in größter Entfernung vom 

 Zentrum oder Kegelscheitel gelegenen, als Anfangskreis des Systems 

 betrachten und die /(--Punkte, welche auf diesem Kreise liegen, mit 

 0, 0', 0", 0'", 0"" usw. bis 0^^—'^) bezeichnen. Auf dem horizontalen 

 oder konzentrischen Kreis des Systems, welcher dem Anfangskreis 

 am nächsten liegt, kommen wieder /('-Punkte vor. Hiervon werden 

 wir nun denjenigen Punkt, der dem Punkt am nächsten liegt 

 (der Abstand ist bei der Kreiszylinder- und Kreiskegelfläche wieder 

 in diesen Flächen zu nehmen), die Nummer 1 geben; der Punkt, 

 welcher 0' am nächsten liegt, bekommt dann die Nummer 1' usw. In 

 gleicher Weise wird die Numerierung auch für die Punkte auf 

 anderen horizontalen oder konzentrischen Kreisen fortgesetzt. 



Es wird nun einleuchten, daß die mit 1 verbindende Spirale, 

 wozu wir stets wieder die steilste Spirale wählen, auch durch die 

 Punkte 2, 8, 4 usw. gehen muß. Ebenso muß die Spirale, welche 

 0' mit 1' verbindet, durch die Punkte 2', 3', 4' usw. gehen und die 

 Spirale, welche 0" mit 1" verbindet, durch 2", 3", 4" usw., und in 

 dieser Weise kann man weiter schließen. Wegen der Regelmäßig- 

 keit oder Ähnlichkeit des Punktsystems müssen alle diese Spiralen 

 parallel laufen, die Punkte müssen darauf in gleicher Entfernung 

 von einander liegen, und die Spiralen gleich weit von einander 

 entfernt sein. 



Die /^-Spiralen, auf die man in dieser Weise alle Punkte des 



Systems ordnen kann, werden wir die „Hauptspiralen" des ^-fachen 



Systems nennen. Die konstante Divergenz , welche die Punkte 



auf den Hauptspiralen besitzen, werden wir die „Divergenz" des 



mehrfachen Systems nennen und mit dem Buchstaben a bezeichnen. 



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 Wenn man das /('-fache System einen Winkel von ^ — y— um 



die Achse der Zylinder- oder Kegelfläche oder um das Zentrum 

 beschreiben läßt, so wird deutlich sein, daß die Hauptspirale, welche 

 die Punkte 0, 1, 2, 3, 4 usw. enthält, mit derjenigen zusammenfallen 

 muß, die durch die Punkte 0', 1', 2', 3', 4' usw. geht, während zu 

 gleicher Zeit die Punkte wieder dasselbe System bilden. 



§ 3. Die mehrfachen Punktsysteme als von den ein- 

 fachen abgeleitete betrachtet. Denkt man sich die beschreiben- 

 den Linien oder die Leitstrahlen durch die Punkte und 0' gezogen, 

 so wird durch diese Linien ein Teil des Punktsystems begrenzt und 



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 aus dem Gesagten folgt, daß dieser Teil bei einer Drehung von — j — 



um die Achse oder um das Zentrum mit einem identischen Teil zu- 

 sammenfallen muß. Hieraus folgt also, daß jedes /^-fache Punktsystem 

 zerlegt werden kann in /c gleiche Streifen. Diese Streifen können 

 Teile einer Zylinderfläche, einer Ebene oder einer Kegelfläche sein. 

 Wir können uns nun jeden dieser Streifen aufgerollt denken zu einer 

 Kreiszylinder- oder einer Kreiskegelfläche, und man wird einsehen, 

 daß dann die Punkte, welche darauf vorkommen, ein regelmäßiges oder 

 ähnliches System bilden. Da aber bei diesen Systemen auf einem 

 horizontalen Kreis niemals mehr als 1 Punkt vorkommen kann, so 

 werden sie „einfache" Systeme sein. 



