Kap. I. Mehrfache Punktsysteme. 181 



Die /(--fachen Systeme können also in k gleiche einfache zerlegt 

 werden. Während nun aber den mehrfachen regelmäßigen Punkt- 

 systemen auf der Kreiszylindertiäche auch ein einfaches Punktsystem 

 auf einer Kreiszylinderfläche zu gründe liegt und den mehrfachen 

 ähnlichen auf einer Kreiskegelfläche ein einfaches auf einer solchen 

 Fläche (obwohl mit anderem Scheitelwinkel), so lassen sich die mehr- 

 fachen ähnlichen Punktsysteme auf einer Ebene nur in einfache 

 ähnliche auf einer Kreiskegelfläche zerlegen. Dieser letzte Umstand 

 zwang uns, die mehrfachen Punktsysteme auf einer Ebene zu be- 

 handeln, nachdem auch die einfachen auf der Kreiskegelfläche be- 

 sprochen waren. 



Geben wir den Größen, welche sich auf das einfache System 



beziehen, welches einem /('-fachen zu gründe liegt, den Index o, so 



gilt ganz allgfemein: 



^ ^ ^ ^0 = koi (71) 



Für die ähnlichen Systeme auf einer Kreiskegelfläche lassen 

 sich außerdem noch folgende Beziehungen angeben: 



Ko = \ ■ (72) 



N 

 und also: ^ A^, = -— (73) 



k 



Wir weisen nun besonders darauf hin, daß man jedes einfache 

 Punktsystem auf einer „Kreiszylinderfläche" betrachten kann als ein 

 solches, das einem gewissen /^-fachen System auf einer solchen 

 Fläche zu Grunde liegt. Doch nicht jedes einfache ähnliche Punkt- 

 system auf einer „Kreiskegelfläche" kann man als ein solches auf- 

 fassen, das einem /^-fachen System zu gründe liegt. Denn es wird 

 einleuchten, daß dazu C^ notwendig'erweise einen solchen Wert be- 

 sitzen muß, daß kt,o < 360^ ist. Wenn ein einfaches ähnliches 

 System auf einer Kreiskegelfläche einem /^-fachen auf einer „Ebene" 



360^ 1 



zu Grunde liegen soll, so muß t,o = — j — sein, während No = -r ist. 



Es können also nur ganz bestimmte ähnliche Punktsysteme auf 

 einer Kreiskegelfläche zum Aufbau mehrfacher ähnlicher Systeme 

 auf einer Ebene dienen. 



Aus dem Gesagten geht noch Folgendes hervor: Sind in dem 

 einfachen System, das dem /^-fachen zu gründe liegt, die ;//- und 

 die /z-zeilige Spirale zugeordnet, so müssen die Punkte des mehr- 

 fachen Systems alle als Schnittpunkte von zwei Spiralscharen auf- 

 zufassen sein, welche km und kn parallele Spiralen enthalten. Nun 

 werden wir solche Spiralscharen auch hier „zugeordnete" nennen 

 und es folgt hieraus folgende wichtige Regel: 



Sind in einem .^-fachen Punktsystem zwei Spiralscharen von 

 je p und q Spiralen anzugeben, deren Schnittpunkte die Punkte des 

 Systems bilden, so müssen die Zahlen / und q notwendigerweise 

 den Faktor k als größten gemeinsamen Teiler besitzen. 



Man hat in dieser Eigenschaft ein wichtiges Hilfsmittel für 

 die Beurteilung der Frage, ob ein in der Natur angetroffenes System 

 einfach oder mehrfach ist, denn es ist bei den natürlichen Objekten 

 meistens viel einfacher, zugeordnete Spiralscharen nachzuweisen als 

 zu bestimmen, ob mehrere Punkte in gleicher Höhe gelegen sind 



