182 Vierter Abschn. Mehrfache Systeme. 



Kai)itel II. Mehrfache Systeme tangierender Kreise 



und Folioiden. 



§ 1. Die mehrfachen Systeme tangierender Kreise 

 als aus den einfachen aufgebaute betrachtet. Als Definition 

 der „mehrfachen Systeme tangierender Kreise" gelten dieselben, 

 welche wir in den vorigen Abschnitten (S. 23, 112 und 146) von 

 den „einfachen regelmäßigen Systemen tangierender Kreise auf einer 

 Kreiszylinderfläche" und von den „einfachen ähnlichen auf einer 

 Ebene" und „auf einer Kreiskegelfläche" gaben, mit der Einschrän- 

 kung, daß die Kreismittelpunkte statt eines einfachen, jetzt ein mehr- 

 faches Punktsystem bilden. 



Wir haben nun die Frage zu lösen, von welcher Art die 

 mehrfachen Punktsysteme sein müssen, damit sich um ihre Punkte 

 solche mehrfache .Systeme tangierender Kreise konstruieren lassen. 



Denkt man sich ein >^-faches System tangierender Kreise in 

 der im vorigen Kapitel angegebenen Weise in /^-Streifen eingeteilt, 

 so werden die Zeichnungen auf jedem dieser Streifen vollkommen 

 gleich sein, was aus der Regelmäßigkeit oder Ähnlichkeit des 

 Systems unmittelbar hervorgeht. Wird nun ein solcher vStreifen zu 

 einer Zylinderfläche oder Kegelfläche aufgerollt, so werden die 

 Kreise darauf ein einfaches System tangierender Kreise bilden. 



Hiermit ist also die Frage zurückgeführt auf diejenige nach 

 der Beschaffenheit der einfachen Punktsysteme, um deren Punkte 

 Systeme tangierender Kreise möglich sind, und diese letztere wurde 

 in den vorigen Abschnitten vollständig gelöst. Eine kurze Be- 

 sprechung der einzelnen Fälle möge das Gesagte noch näher er- 

 läutern. 



§ 2. Mehrfache regelmäßige Systeme tangierender 

 Kreise auf einer Kreiszylinderfläche. Jedes einfache regel- 

 mäßige System tangierender Kreise auf einer Kreiszylinderfläche 

 kann zum Aufbau eines /^-fachen Systems verwendet werden. 

 Nennen wir das Verhältnis des Kreisdurchmessers zum Zylinder- 

 umfang für das einfache System ^,„ für das mehrfache b, so leuchtet 

 ein, daß: 



ho = kh (74) 



ist. Nun ist nach (71) a„ = ko: und hieraus folgt also, daß die Be- 

 ziehung zwischen b und a bekannt ist, sobald diejenige zwischen 

 ho und a„ gegeben ist. Nun wird die letzte Beziehung durch die 

 (vollständig, ausgeführt gedachte) graphische Darstellung II Tafel II 

 ausgedrückt und wir bekommen also diejenige zwischen b und a, 

 indem wir die Darstellung /i'-mal verkleinern. 



Wir haben früher gesehen , daß , sobald 3„ und a„ für ein 

 einfaches System bekannt sind, sich dieses sehr leicht konstruieren 

 läßt. So setzt uns jetzt diese graphische Darstellung in den Stand, 

 auch jedes gewünschte, mehrfache System tangierender Kreise auf 

 einer Kreiszylinderfläche zu konstruieren. 



§ 3. Mehrfache ähnliche Systeme tangierender Kreise 

 auf einer Ebene. Will man ein y^-faches System tangierender 

 Kreise auf einer Ebene beschreiben, so konstruiere man einen 



