Kap. IL Mehrfache Systeme tangierender Kreise und Folioiden 185 



Wir haben auf S. 152 nachgewiesen, daß auf jeder Kreiskegel- 

 fläche einfache Systeme mit dem Kontakte 1 und 1 möglich sind. 

 Nur auf einer Ebene war ein solches einfaches System nicht zu 

 beschreiben. Aus allen möglichen Fällen wollen wir nun als Bei- 

 spiele solche wählen, bei denen die beiden einzeiligen Spiralen des 

 einfachen Systems einander rechtwinklig schneiden. Die Werte 

 von a, welche sich auf solche Systeme für verschiedene Kegel- 

 flächen beziehen, sind in der graphischen Darstellung Taf. XI aus 

 der Kurve AJ abzulesen. 



Es sind nun in der Tabelle XX für zwei-, drei- und fünf- 

 zählige alternierende Quirle mit rechtwinkligem Schnitt der Kon- 

 taktspiralen diejenigen Werte angegeben, welche für die Konstruk- 

 tion auf der Kreiszylinderfläche, auf der Ebene und auf einer 



Kreiskegelfläche, für die v' = 28 <> 57' 18" [n = jj ist, notwendig 

 sind. ^ ' 



Die Tafel XII enthält die Konstruktionen, welche mit diesen 

 Werten ausgeführt wurden. Die Figuren 1 — 3 stellen die zwei-, 

 drei- und fünfzähligen Quirle mit rechtwinkligem Schnitt der 

 Kontaktspiralen auf einer Kreiszylinderfläche dar und zwar ist der 

 Umfang dieser Zylinderfläche gleich 5 cm angenommen, also der- 

 selbe wie für alle unsere früheren Konstruktionen auf der Kreis- 

 zylinderfläche. Die Durchmesser der Kreise geben also wieder 

 einen Einblick in den Wert von b, was besonders dann von Inter- 

 esse ist, wenn man diese mehrfachen Systeme mit den einfachen 

 vergleicht. 



Die Figuren 5 — 7 stellen die übereinstimmenden Systeme auf 

 der Ebene dar. Wir bemerken dabei noch, daß, wie gesagt, ein 

 einfaches System mit dem Kontakte 1 und 1 auf einer Ebene 

 praktisch nicht besteht, während das zweifache, welchem ein ein- 

 faches mit diesem Kontakte zu gründe liegt, wohl konstruiert werden 

 kann, wie aus der Figur 5 hervorgeht. 



Die Figuren 9 — 11 geben dieselben Kontaktfälle mit Folioiden- 

 systemen wieder, wobei diese Systeme die horizontalen Projektionen 

 ähnlicher Systeme tangierender Kreise auf einer Kreiskegelfläche 



darstellen, für die xp = 28° 57' 18" \N = -J ist. Diese Figuren 



beziehen sich also auf dieselbe Kegelfläche, wie die Konstruktionen 

 4 bis 6 der Tafel IX und alle Konstruktionen der Tafel X. 



§ 7. Gedrehte Quirle. Diejenigen mehrfachen Systeme, 

 welchen andere einfache Systeme als solche mit dem Kontakte 

 und 1 oder 1 und 1 zu gründe liegen, werden wohl mit dem Namen 

 „gedrehte Quirle" bezeichnet. Wir werden uns damit begnügen, 

 ein einziges Beispiel dieser Systeme zu geben und zwar ein zwei- 

 faches System, welchem ein einfaches mit dem Kontakte 1 und 2 

 zu gründe liegt. Dabei wurde die Divergenz des einfachen Systems 

 gleich 144 ^^ angenommen. Es entspricht dieser Divergenz bei 

 dem System auf der Kreiszylinderfläche ein rechtwinkliger Schnitt 

 von Kontaktspiralen; bei dem System auf der Ebene oder dem- 

 jenigen auf der Kreiskegelfläche ist dies nicht der Fall, dennoch 

 kommt man hier auch einem solchen rechtwinkligen Schnitt sehr 

 nahe, und praktisch kann bei dieser Divergenz der rechtwinklige 

 Schnitt wohl angenommen werden. Die Zahlen, welche sich auf 



