Fünfter Abschnitt. 



Rekapitulation. 



Wenn wir jetzt versuchen, die Hauptresultate, zu denen uns 

 die Betrachtungen des vorigen Abschnitts führten, in kurzer Fassung 

 wiederzugeben, so muß zunächst bemerkt werden, daß dies nur auf 

 sehr unvollkommene Weise geschehen kann und in mehreren Fällen 

 auf die früheren Ausführungen verwiesen werden muß. Anderseits 

 aber wird uns diese Zusammenfassung in den Stand setzen, einzelne 

 Fragen durch eine abweichende Behandlungsweise näher zu be- 

 leuchten. 



Ausgangspunkt unserer mathematischen Studien bildet folgende 

 Frage: Welches sind die Eigenschaften von Punktsystemen auf einer 

 Kreiszylinderfläche, einer Ebene und einer Kreiskegelfläche, welche 

 derart sind, daß die Strahlenbüschel, welche man erhält, indem man 

 verschiedene Punkte des Systems mit allen anderen verbindet, ent- 

 weder kongruent (für die Kreiszylinderfläche) oder ähnlich (für die 

 Ebene und Kegelfläche) sind. Es sind hier aber diejenigen Fälle, 

 worin unter den Strahlenbüscheln kongruente oder ähnliche „Spiegel- 

 bilder" angetroffen werden, nicht in Betracht gezogen. 



Es ist nun nachgewiesen worden, daß die Haupteigenschaften 

 solcher Punktsysteme, welche wir „regelmäßige" (auf einer Kreis- 

 zylinderfläche) und „ähnliche" (auf einer Ebene oder auf einer Kreis- 

 kegelfläche) nannten, die sind, daß darin unendliche Reihen Punkte 

 auf Schraubenlinien (Kreiszyhnderfläche) , logarithmischen Spiralen 

 (Ebene) oder Kegelloxodromen (Kegelfläche) liegen. Die logarith- 

 mischen Spiralen haben alle dasselbe Zentrum, die Kegelloxodromen 

 laufen natürlich alle nach unendlich vielen Umgängen in dem 

 Kegelscheitel zusammen. Die drei genannten Arten Kurven wurden 

 gemäß der botanischen Ausdrucksweise unter dem gemeinschaft- 

 lichen Namen „Spiralen" zusammengefaßt. 



Die Punktsysteme ließen sich ferner in zwei Arten einteilen. 

 Bei der ersten Art konnten alle Punkte in einer einzigen Spirale 

 aufgenommen werden, solche Systeme haben wir „einfache" genannt, 

 und die Spirale selbst „Hauptspirale". Bei der zweiten Art war 

 eine solche einzige Spirale nicht möglich; es waren mehrere parallele 

 Spiralen notwendig, um alle Punkte des Systems aufzunehmen. 

 Solche Systeme nannten wir „mehrfache". 



Zuerst werden nun ausschheßlich die einfachen Punktsysteme 

 betrachtet, wobei die kontinuierliche Numerierung der Punkte die 

 Hauptspirale entlang vorgenommen werden kann. 



