188 Fünfter Abschn. Rekapitulation. 



Ein einfaches Punktsystem auf einer Kreiszylinderfläche ist 

 bestimmt durch zwei Faktoren: die Divergenz a der Punkte in der 

 Hauptspirale und die Steighöhe // dieser Spirale. Ein einfaches 

 Punktsystem auf einer Ebene und ein solches auf einer Kreiskegel- 

 fläche ist ebenfalls durch zwei Faktoren völlig bestimmt, hier sind 

 es die Divergenz oc der Punkte in der Hauptspirale und das kon- 

 stante Verhältnis a, das zwischen den Leitstrahlen nach den auf- 

 einander folgenden Punkten der flauptspirale besteht und welchem 

 wir den Namen „Hauptverhältnis" gaben. Bei jedem Wert von a 

 sind nun unendlich viele Werte von h oder a anzugeben, mit denen 

 solche Punktsysteme aufgebaut werden können. Von allen diesen 

 Möglichkeiten haben wir bestimmte Fälle ausgewählt und zwar 

 durch folgende Betrachtungsweise: 



Man denke sich um die Punkte eines regelmäßigen oder ähn- 

 hchen Punktsystems unendlich kleine Kreise auf der Zylinderfläche, 

 Ebene oder Kegelfläche beschrieben, und nehme an, daß diese 

 Kreise im Wachstum begriffen sind, aber so, daß sie dabei immer 

 kreisförmig bleiben. Es muß hierbei noch bemerkt werden, daß 

 hier unter Kreisen auf einer Kreiszylinderfläche und einer Kegel- 

 fläche, Raumkurven verstanden werden, die derart sind, daß sie 

 nach dem Abrollen auf einer Ebene wirklich Kreise darstellen. 

 Man denke sich nun das Wachstum der Kreise derart, daß sich bei 

 den Punktsystemen auf der Zylinderfläche alle Kreise gleich schnell 

 ausdehnen, bei denjenigen auf der Ebene und auf einer Kreiskegel- 

 fläche aber so, daß die Radien sich in jedem Augenblick verhalten 

 wie die Leitstrahlen, die vom Zentrum oder vom Kegelscheitel aus 

 nach den Punkten gezogen werden. 



Es wird dann ein Moment kommen, in dem der Kreis um 

 Punkt o einen anderen berührt. Nehmen wir an, dies sei derjenige 

 lim Punkt m. Es muß dann aber wegen der Regelmäßigkeit oder 

 Ähnlichkeit des Systems der Kreis um Punkt m denjenigen um 2ni 

 und dieser wieder denjenigen um "^fn berühren usw. Ferner muß 

 der Kreis um 1 denjenigen um (1 + ni) berühren usw. Wir haben 

 ein solches Kreissystem eines mit ///-zeiligen Kontaktspiralen genannt. 



Es besteht nun die Möglichkeit, daß der Kreis um o gleich- 

 zeitig die Kreise um in und n tangiert. In diesem Falle sprechen 

 wir von einem zweizähligen Kontakte ;// und n, und es wird ein- 

 leuchten, daß dabei jeder Kreis von vier anderen berührt wird. Es 

 läßt sich nun nachweisen, daß für einen bestimmten Wert von a 

 nur ein solcher von h oder a zu finden ist, für den ein Kontakt m 

 und n besteht. Daraus folgt also, daß eine gewisse Beziehung 

 zwischen a und h oder zwischen a und a anzugeben ist für alle 

 Fälle, in denen ein Kontakt ;;/ und n verwirklicht ist. 



Für die Kreiskonstruktionen auf einer Ebene und auf einer 

 Kreiskegelfläche haben wir dann auch wirklich die Beziehung 

 zwischen a und a durch eine Gleichung dargestellt (Formel 40 

 S. 115 und Formel 56 S. 14S), jedoch haben wir aus gewissen Grün- 

 den vorgezogen, für die Kreiskonstruktionen auf der Kreiszylinder- 

 fläche anstatt der Beziehung zwischen a und Ji eine andere einzu- 

 führen, und zwar eine solche zwischen a und einem Faktor b. Dieser 

 Faktor b, den wir den „relativen Kreisdurchmesser" nannten, gibt 

 das Verhältnis des konstanten Kreisdurchmessers einer Kreiskonstruk- 

 tion zu dem Umfang der Zylinderfläche an. 



