Fünfler Abschn. Rekapitulation. 189 



Die Beziehungen, die wir zwischen b und a oder a und a 

 fanden, sind zwar unter der Annahme eines Kontaktes m und n ab- 

 geleitet, dabei bleibt jedoch die Möglichkeit bestehen, daß in der 

 Kreiskonstruktion sich noch Kreise schneiden. Es kann nun aber 

 sehr leicht nachgewiesen werden, daß dies nicht möglich ist für alle 

 diejenigen Werte von b oder a und a, welche zwischen denen liegen, 

 die diese Größen bei dem dreizähligen Kontakt {n — m), vi und n 

 und dem dreizähligen Kontakte m, n und {m + n) besitzen. Solche 

 Systeme mit zwei- oder dreizähligem Kontakte, bei denen sich keine 

 Kreise schneiden, haben wir „regelmäßige" (Zylinderfläche) und 

 „ähnliche" (Ebene und Kreiskegelfläche) „Systeme tangierender 

 Kreise" genannt. 



Die Beziehung zwischen b und a für die „regelmäßigen Systeme 

 tangierender Kreise auf einer Kreiszylinderfläche" ist bei ver- 

 schiedenen Werten von ;;/ und n in der graphischen Darstellung II 

 Tafel II wiedergegeben. Dabei wurden besonders Kontakte aus 

 der „Hauptreihe" (s. S. 32) und den einfachen Nebenreihen (s. S. 50) in 

 Betracht gezogen. Sind einmal für einen bestimmten Kontakt 

 die zusammengehörigen Werte von b und a bekannt, dann läßt sich 

 die Kreiskonstruktion leicht ausführen. Tafel I enthält eine Reihe 

 solcher Kreissysteme. 



Die Beziehung zwischen a und a für die „ähnlichen Systeme 

 tangierender Kreise auf einer Ebene" findet man bei bestimmten 

 Werten von ui und 7i in der Darstellung I Tafel VII. Auch hier 

 läßt sich die Konstruktion, sobald a und a bekannt sind, ohne Mühe 

 anfertigen; Tafel VI gibt eine Reihe solcher Systeme. 



Was nun die Beziehung zwischen a und a für die „ähnlichen 

 Systeme tangierender Kreise auf einer Kreiskegelfläche" anbelangt, 

 so ist diese abhängig von dem Wert des Scheitelwinkels der Kegel- 

 fläche (^). Es sind in die graphische Darstellung II der Tafel VII 

 verschiedene Kurvensysteme eingetragen, die für verschiedene Werte 

 von ip Geltung haben. Will man die Beziehung zwischen a und a 

 jedoch ganz allgemein darstellen, so muß man eine räumliche Dar- 

 stellung verwenden, indem man den Wert von y auf einer dritten 

 Achse abträgt. Es ist dies für einige Werte von in und n in der 

 Darstellung auf Tafel XI geschehen. 



Sind bei einer gewissen Kegelfläche und bei einem bestimmten 

 Kontakt die zusammengehörigen Werte von a und a bekannt, so 

 läßt sich die Konstruktion auf der „abgerollten" Kreiskegelfläche sehr 

 leicht ausführen. In Textfigur 35 S. 160 ist als Beispiel der Kontakt 

 1, 2 und 3 auf einer abgerollten Kegelfläche, für die ^) = 28° 57' 28" 

 ist, dargestellt. Der Sektorwinkel (C) der abgerollten Kegelfläche ist 

 in diesem Fall gleich 90°. Die Kreiskonstruktionen auf der Kegel- 

 fläche selbst lassen sich natürlich nur als Projektionszeichnung geben, 

 wir wählten dazu die Projektion auf eine Ebene, die rechtwinklig auf 

 der Kegelachse steht und welche wir als „horizontale Projektion" be- 

 zeichneten. Ein Kreis auf der Kreiskegelfläche geht bei dieser Pro- 

 jektion über in eine Kurve, der wir den Namen „Folioide" gaben und 

 deren Eigenschaften wir genau feststellten. Das Kreissystem geht 

 also bei der horizontalen Projektion über in ein „ähnliches System 

 tangierender Folioiden", welches dieselben Kontakte zeigt wie das 

 Kreissystem und auch in anderer Hinsicht damit große Überein- 

 stimmung besitzt. Die Figuren 4 bis 6 der Tafel IX und die Figuren 



