190 Fünfter Abschn. Rekapitulation. 



der Tafel X geben eine Reihe solcher Folioidensysteme, welche 

 sich auf Kreiskonstruktionen auf einer Kreiskegelfläche beziehen, 

 für die t/; = 28» 57' 18" (C = 90 ») ist. Die Gestalt der Folioiden 

 ändert sich auf sehr bestimmte Weise, wenn man die Kreiskonstruk- 

 tion auf anderen Kegelflächen ausgeführt denkt. Es werden sich 

 die hier gemeinten Konstruktionen im zweiten Teil dieser Arbeit 

 als das Hauptresultat unserer mathematischen Studien herausstellen. 



Wir haben nun auch für die „ähnlichen Systeme tangierender 

 Kreise auf einer Ebene" ebenso wie für die „auf der Kreiskegel- 

 fläche" und die „ähnlichen Systeme tangierender Folioiden" den 

 Faktor b eingeführt und zwar wurde diese Größe hier definiert als 

 das Verhältnis zwischen dem konstanten Winkel, unter dem die 

 Kreise oder Folioiden vom Zentrum oder vom Scheitel (der abge- 

 rollten Kegelfläche) aus gesehen werden, und einem Winkel von 

 360 '^. Es hat sich ergeben, daß die Beziehung zwischen b und a für 

 diese Systeme die größte Übereinstimmung zeigt mit derjenigen, 

 die wir zwischen b und a für die „regelmäßigen Systeme tangieren- 

 der Kreise auf einer Kreiszylinderfläche" fanden. Praktisch konnte 

 sogar die graphische Darstellung 11 Tafel II vom Punkt 1, 2 und 3 

 ab, nach unten hin, für alle diese Systeme in Anwendung gebracht 

 werden (siehe S. 128 und 165). Bei dem Kontakt 1 und 2 findet 

 man aber eine ziemlich bedeutende Abweichung für verschiedene 

 Systeme. In der Darstellung III Tafel III gilt die mit „Ebene" be- 

 zeichnete Kurve für die Kreiskonstruktionen auf der Ebene, die mit 

 ,, Zylinderfläche" bezeichnete ist mit der Kurve für den Kontakt 1 

 und 2 aus der Darstellung II Tafel II identisch. Die Kurven für 

 diesen Kontakt bei Konstruktionen auf der „Kegelfläche" fallen 

 zwischen diese beiden Linien. Auch für den Kontakt 1 und 1 sind 

 bemerkenswerte Unterschiede bei den verschiedenen Systemen wahr- 

 zunehmen; für solche auf der Ebene ist dieser Kontakt nicht zu 

 realisieren, für solche auf Kegelflächen für die ip zwischen 180*^ 

 und 60*^ variiert, nur für Werte von b kleiner^ als 1. Der Kontakt 

 und 1 kann erst auf Kegelflächen, für welche </» < 60*^ ist, auf- 

 treten. 



Aus der genannten graphischen Darstellung der Beziehung 

 zwischen b und a ließen sich nun mehrere Schlüsse ziehen auf 

 die verschiedenen Systeme, die mit ein und demselben Wert von b 

 oder a m(")glich sind (man vergleiche S. 65, 129 und 159). Auch 

 diese Schlüsse werden sich für unsere weiteren Betrachtungen als 

 besonders wichtig herausstellen. 



Wir bemerken noch, daß für alle Kreiskonstruktionen außer 

 den Kontaktfällen mit dreizähligen Kontakten auch besonders die- 

 jenigen näher betrachtet wurden, bei denen die Kontaktspiralen 

 (d. h. diejenigen Spiralen, welche durch die Mittelpunkte von Kreisen 

 gezogen werden, die miteinander in Kontakt sind) einander recht- 

 winklig schneiden. Es hat sich herausgestellt, daß für jeden Kon- 

 takt /// und n ein Wert für b oder a und für a zu finden ist, für 

 den das der Fall ist. 



Nachdem die „einfachen" Systeme behandelt waren, sind auch 

 die „mehrfachen" in Betracht gezogen worden. AuP)er durch das 

 Fehlen einer einzigen Hauptspirale unterscheiden sich diese „mehr- 

 fachen" noch dadurch von den „einfachen", daß mehrere Punkte 

 des Punktsystems oder mehrere Kreismittelpunkte des Kreissystems 



