Kap. III. Die Blattstellung an dem ausgewachsenen Stengel. 223 



divergenz der Hauptreihe (^-^ • 360«= 137« 30' 28"| voraus- 



gesetzt, so könnten je nach dem Werte des Verhältnisses zwischen 

 Längen- und Breiten Wachstum die Koordinatzahlen der auffallendsten 

 Spiralscharen durch je zwei aufeinander folgende Glieder dieser 

 Reihe ausgedrückt werden. 



Diese Regel läßt sich noch folgendermaßen erweitern: 



Wird ein Punktsystem auf einer Kreiszylinderfläche dargestellt 



mit einer Divererenz = -360«, so werden die Koordinatzahlen 



der am meisten ins Auge fallenden Spiralscharen ausgedrückt durch 

 zwei (oder drei) aufeinander folgende Glieder der Reihe 1, z. 



Beweis. Bemerken wir zuerst, daß die am meisten ins Auge fallenden 

 Spiralen diejenigen sind, auf denen die Punkte die geringste Entfernung von 

 einander aufweisen. 



Nehmen wir nun an, es würden die Koordinatzahlen der auffallendsten 



Spiralen ausgedrückt durch zwei Zahlen p, q, welche keine Glieder der 



Reihe 1, z sind. Es liegt dann die Zahl {> zwischen zwei aufeinander 



folgenden Gliedern m und n dieser Reihe, sodaß m <^ p <^ n. Man sieht 



ein, daß in diesem Fall A„t <^ A^ <C A„ sein muß. 



A,n A. A„ 



Betrachten wir dann die drei Brüche: , — ^, — . Der erste und 



w p n 



dritte stellen Annäherungsbrüche für den Limitwert: dar, der zweite 



kann als ein dazwischen eingeschobener Bruch betrachtet werden. Nun 



wird nach einer Eigenschaft der Kettenbrüche ein solcher Bruch (wenn 



m <i p K. «. A„i <^ Aß <^ A,i ist) eine geringere Annäherung an den Limit- 

 wert zeigen als die beiden Näherungsbrüche. Es muß also: 



Limitdivergenz (a) -■ 360 « > Limitdivergenz (a) — • 360 « 



p m 



sein. Es ist nun weiter nach Formel 1 : 



öß=pa~Aß- 300 und d,„ = ma. — A,„ ■ 360 <> 

 also: 



a-^- 360« = ^ und a - — • 360« = ^ 

 p p m m 



dann muß also: 



p tn 



sein, und da w? <^ / ist, muß 



^p > ^m 



sein. 



Nun kann die Entfernung Ip des Punktes o von einem Punkt p dar- 

 gestellt werden durch: 



wenn der Zylinderumfang gleich 1 und die Entfernung von Punkt 1 ober- 

 halb der Linie o — o gleich y gesetzt wird. Ebenso wird die Entfernung 

 des Punktes o vom Punkt m : 



