Kap.I. Anleg. neuer Org. im Anschl. an Vorhand, bei veränderl.Blattst. 267 



Um nun den eigentümlichen Verlauf der Kontaktspiralen auch 

 bei der Folioidenkonstruktion nachzuweisen, haben wir in Fig. 7 

 Tafel XIV diese Kontaktspiralen noch näher dargestellt und die 

 Punkte, in welchen Verzweigung der Spiralen eintritt, durch einen 

 kleinen Kreis markiert. Daß die hier gemeinten Spiralen keine 

 logarithmischen sind, und bei ihrer Darstellung also eine gewisse 

 Willkür besteht, braucht wohl nicht näher betont zu werden. 



Schließlich muß noch auf eine andere Darstellungsweise für 

 die betrachtete Übergangsfigur hingewiesen werden, die man erhält, 

 wenn man statt der Kontaktspiralen (unter welchen wir, wie immer, 

 die Spiralen durch die Mittelpunkte verstanden haben) die ein- 

 hüllenden Spiralen konstruiert, d. h. diejenigen Spiralen, welche 

 alle sich berührenden Kreise oder Folioiden auf derselben Seite 

 tangieren. Diese Darstellungsweise ist von Church (siehe auch 

 S. 137) angewendet worden. 



Das Endresultat aller obenstehenden Betrachtungen ist also 

 diese Schlußfolgerung: Falls die vorhandene Blattstellung den 

 Kontakt o und 5 aufweist, und der Wert von b (mit einigen Sprüngen) 

 im Verhältnis 0,62 ändert und auch weiter die Anlegung neuer 

 Organe in Übereinstimmung mit den Beobachtungstatsachen aus 

 § 1 dieses Kapitels geschieht, dann muß die neu auftretende Stellung 

 sich dem rechtwinkligen Kontakt 5 und 8 nähern. Auch hier haben 

 wir also einen Fall kennen gelernt, bei dem die neue Blattstellung 

 wie die bereits vorhandene einen Kontakt aus der Hauptreihe aufweist. 



§ 11. Konstruktionen für den Übergang des recht- 

 winkligen Kontaktes /// und n in den rechtwinkligen Kon- 

 takt n und {i)i-\-n) für den Fall n <^2m. Es ist leicht, die 

 Betrachtungen des vorigen Paragraphen zu verallgemeinern, 

 denn es läßt sich nachweisen, daß sich zahlreiche Übergangsfiguren 

 in derselben Weise, wie die in diesem Paragraphen betrachtete Kon- 

 struktion, auf die beiden einfachen zurückführen lassen, welche wir 

 in § 8 und § 9 besprochen haben, d. h. also auf die, welche sich auf 

 die Übergänge 1 und 1 in 1 und 2 und 1 und 2 in 2 und 3 beziehen. 



Betrachtet man nämlich auf Tafel I alle Figuren, welche einen 

 rechtwinkligen Kontakt /// und n darstellen, so wird sich bald die 

 allgemeine Regel herausstellen, daß, falls ?/ < 2 7)i ist, diese Figuren 

 an der oberen Seite von einer Reihe Kreise begrenzt werden, welche 

 eine Zickzacklinie bilden, die nur dieselben zwei Arten von Ein- 

 kerbungen zeigt, denen wir im vorigen Paragraphen begegnet sind. 

 Wenn also der Wert von b wieder im Verhältnis 0,62 abnimmt und 

 wenn wir bei dieser Abnahme wieder einige Zwischenwerte von b 

 annehmen, so müssen sich oberhalb dieser beiden Einkerbungsarten 

 wieder die bekannten Übergangsfiguren aus Fig. 1 und 2 der 

 Tafel XIII einstellen. Bevor wir nachsehen, welche Blattstellung dann 

 resultieren muß, wollen wir zuerst die soeben angegebene Regel 

 mathematisch beweisen, denn um eine allgemeine Anwendung der- 

 selben zu rechtfertigen , kann natürlich ein Hinweis auf die be- 

 schränkte Zahl Konstruktionen der Tafel I nicht genügen. 



Nehmen wir an, die ursprüngHch vorhandene Blattstellung mit dem Kon- 

 takt m und 71 (w \'^ ;/ und n <^ 2 m) endigt mit dem Punkt s (siehe Fig. 72), so 

 ist dieser Punkt gewiß ein „Gipfelpunkt" der Zickzacklinie, welche das System 

 an der oberen Seite abgrenzt. Es ist diese Linie aus Teilstücken der m- 

 und ^^-zeiligen Kontaktspiralen zusammengesetzt, und es ist also nachzuweisen, 



