268 Zweiter Abschn. Veränderliche Blattstellung. 



daß darin nur Einkerbungen vorkommen können, welche wir oben als solche 

 erster und zweiter Art bezeichnet haben. Ein willkürlicher anderer Gipfelpunkt 

 der Zickzacklinie kann nun immer dargestellt werden durch s — pnArqm, worin 



Fig. y2. 



die ganzen Zahlen p und q angeben, wieviel Schritte man in den //-zeiligen 

 Kontaktspiralen nach unten und in den w-zeiligen Spiralen nach oben machen 

 muß, um vom Punkt s aus den betrachteten Punkt zu erreichen. Soll nun aber 

 dieser Punkt wirklich ein solcher Gipfel sein, so muß s — pn-\- qm <Cs oder 

 qm <ipn sein, weil wir vorausgesetzt haben, daß Punkt s der höchste ist. 

 Aber außerdem muß dann s ^pti^{q -\- \) my s oder [q -\- \) tti y p n sein, 

 denn sonst würde der Punkt s — pn-^- [q -\- \) tri noch zu dem betrachteten 

 System gehören, und es könnte der Punkt s — pn-\-qm kein Gipfelpunkt 

 der begrenzenden Zickzacklinie sein. 



Es ist nun klar, daß der Punkt s — (/> + \)n-\- qm^) wohl einen Punkt 

 der Zickzacklinie darstellt; dasselbe muß auch mit dem Punkt s — (/ + V) n 

 + («7+1)''' der Fall sein, denn aus den Beziehungen qm <^pn und tn<^n 

 folgt, daß (.; + 1) w; < (/, + 1) «, sodaß j — (/> + 1) « + ($r + 1) ;« < s ist. Ob 

 nun der Punkt 5 — (/> -j- 1) /« -}- (r/-f- 2) /« ein solcher ist, läßt sich nicht im 

 allgemeinen voraussagen, denn wenn qm <ipn und 2m y n ist, kann sowohl 

 {q^2)m<^[p-\-\)n als ('/+ 2) /«<(/>+ 1) « sein; es wird dies abhängen 

 von dem Wert von p und q. 



Sicher ist aber der Punkt s — {p A^ 1) « + (? + 3) w kein Punkt der 

 Zickzacklinie, denn wäre dies der Fall, so müßte (^^ -f 3) w < (/> -j- 1) « sein, 

 während aus den Beziehungen (-7 + 1 ) w > / ;/ und 2 w > « folgt, daß (»z + 3) w 

 y>{p-\- 1)« ist. Unter der Voraussetzung, daß « < 2w ist, bleiben also nur 

 die zwei Möglichkeiten, daß die Einkerbung von drei oder von vier Kreis- 

 mittelpunkten begrenzt wird, d. h. also, die Einkerbung kann nur eine sein, 

 die wir oben als eine solche erster oder zweiter Art bezeichneten. 



Fragen wir jetzt noch nach der Anzahl der Einkerbungen, so läßt sich 

 diese in einfacher Weise angeben. Dazu brauchen wir nur nachzusehen, 

 welchen Wert p und q annehmen, wenn der Punkt .? — pn-\-qm wieder mit 

 dem Punkt s zusammenfällt, d. h. die Zickzacklinie geschlossen ist. Es muß 

 dann s — pn-\-qm eee s sein, und also p ^ m und q ;^ «. Daraus folgt 

 dann aber, wie leicht einzusehen, daß es im ganzen m Einkerbungen gibt 

 und zwar {n — ;«) der zweiten Art und {2 m — 11) der ersten Art. 



Wenn nun oberhalb der Einkerbungen dieselben Übergangs- 

 figuren auftreten, wie sie in Fig. 1 und 2 der Tafel XIII dargestellt 

 wurden, so folgt daraus, daß gewisse Kontaktspiralen des ursprüng- 

 lichen Systems auch als solche in dem neuen auftreten, während 

 sich dagegen andere verzweigen müssen. Nach dem früher Gesagten 

 wird es deutlich sein, daß es die ;/-zeiligen Kontaktspiralen des 

 ursprünglichen Systems sind, welche sich auch als «-zeilige Kontakt- 

 spiralen in dem neuen wiederfinden, obwohl sie darin weniger steil 

 laufen als in dem ursprünglichen. Dagegen haben die ///-zeiligen 

 eine Verzweigung erfahren, und zwar oberhalb jeder Einkerbung 



1) In unserer Figur steht s {p -\-\) n -\- qm, dies muß sein s — (P -\- ^) *t -{- q *"• 



