114 Schwarz, zur Integration der part. Diffgl. /\u = 0. 



Wenn der Weiih der gesuchten Funktion u in 

 jedem Punkte der Begrenzung- des Gebietes vorge- 

 schrieben ist und diese längs der Begrenzung vor- 

 geschriebene Werthenreihe ausser der Bedingung, 

 stetig zu sein, keiner andern Beschränkung unter- 

 worfen wird, so ist die Annahme nicht zulässig, dass 

 die gesuchte Funktion u längs der Begrenzung end- 

 liche partielle Ableitungen -q^, -^ beziehungsweise 



-^ besitze, da unter den gemachten Voraus- 



Setzungen partielle Ableitungen der Funktion 

 u längs des Randes im Allgemeinen überhaupt 

 nicht existiren. Auf diesen Umstand, auf den vor 

 mehreren Jahren Hr. Weierstrass in seinen Vor- 

 lesungen aufmerksam gemacht hat, ist, soviel ich 

 weiss, bisher nicht Rücksicht genommen worden. 



Im Nachfolgenden beschränke ich mich auf die 

 Betrachtung des Falles, in welchem das Gebiet der 

 unabhängigen Variablen x und y eine die Ebene ein- 

 fach bedeckende Kreisfläche S ist; jedoch mit Aus- 

 schliessung von Stetigkeitsunterbrechungen und un- 

 endlich grossen Werthen in der für die Funktion u 

 längs der Begrenzung der Fläche S vorgeschriebenen 

 Werthenreihe. 



§ 1. 

 In der Ebene A, deren Punkte die komplexe 

 Grösse z = x-^tji = r.e'f' geometrisch darstellen, 

 sei gegeben ein ganz im Endlichen liegender die 

 Ebene allenthalben nur einfach bedeckender Bereich 

 r, dessen Begrenzung von einer endlichen Anzahl 

 von Stücken analytischer Linien gebildet wird. 



