115 Schwarz, zur Integration der part. DifFgl. Am = 0. 



strecken ist, den Werth Null; das erste, weil Am und 

 Au' beständig- gleich Null sind, das zweite, weil es 

 durch theilweise Integration aus dem ersten erhalten 

 werden kann (s. Green: An Essay on the Applica- 

 tion of mathematical Analysis to the theories of Elec- 

 tricity and Magnetism. Crelle's Journal, Bd. 44, 

 pag. 360; Riemann's Inaug.-Diss., Art. 7 bis 10). 



b. Setzt man w' = 1 , also -^^ = 0, so ergibt 



sich der Satz : Das über alle Begrenzungslinien eines 

 Bereiches r, für welchen die Funktion u den Bedin- 

 gungen II genügt, zu erstreckende Integral \-^ds 



hat den Werth Null. 



§ 3. 



Eine Funktion u genüge für die Fläche S des 

 mit dem Radius 1 um den Punkt ^ = o beschriebenen 

 Kreises den Bedingungen I. 



Man setze u' = logr (s. Riemann's Dissertat. 

 Art. 10). Die Curven konstanter Werthe von u' sind 

 konzentrische Kreise, deren Mittelpunkt der Funkt 

 s = o ist. Sind B^ und R^ zwei spezielle zwischen 

 1 und liegende Werthe von r mit der Bedingung 

 1 > /?! > /?2 > 0, so genügen die Funktionen u und u' 

 für das von den beiden Kreisen mit dem Mittelpunkte 

 z = und den Radien B^ und R^ begrenzte Ring- 

 gebiet T den Bedingungen II und es sind daher die 

 Voraussetzungen des Satzes § 2, a erfüllt. 



Das über die ganze Begrenzung von J erstreckte 



Integral ^[u^ - u'^)ds 



hat demnach den Werth Null. Es ist zu zeigen, dass 

 jedes der über die ganze Begrenzung von T erstreck- 



