Schwarz, zur Integration der part. Diffgl. A m = 0. 119 



Voraussetzung-, dass die Funktion u für die Fläche S 

 den Bedingungen I genüge. 



Dem Punkte Zq = r.e''^ innerhalb der Fläche 5 

 werde zugeordnet der Punkt z'^ = — e'9' ausserhalb 



derselben; < r < 1. Alle Punkte z, deren Ab- 

 stände von den Punkten z^ und z'^ , [z — ^J und 

 [z — 2'o], ein konstantes Verhältniss haben, 



^' ~ 7J = r . f, mit der Einschränkung ^ < < 1 , 



L" -2 oJ 



liegen auf einem der Fläche 5 angehörenden Kreise, 

 dessen Mittelpunkt c und dessen Radius R durch die 

 Gleichungen 



C = ^0 • i_,.2f2 5 ß = i_,.2,2 ? Z^ ~ C = Z^ . R.t 



gegeben \A^erden. Für t = 1 fällt dieser Kreis mit 

 der Begrenzung von S zusammen, für t = geht 

 derselbe in einen Punkt, nämlich in den Punkt" z^ über. 

 Zu jedem Punkte z von S gehört nach dem Vor- 

 hergehenden, sobald der Punkt z^ = r.e'^ fixirt ist, 

 ein Werth von t, ^ / < 1, also auch je ein Werth 

 von c und R. Setzt man nun z — c = Ä.e'^, so ent- 

 spricht jedem Punkte z von S mit Ausnahme des 

 Punktes ^o ein Werth von ip, welcher der Bedingung 

 < (/; < 27r genügt, und für den die Gleichung 

 z — c = R . e'^ erfüllt ist. Da auch umgekehrt zu 

 jedem Werthepaare t, ^ nur ein Werth von z gehört, 

 so können t und ip als unabhängige Variable gewählt 

 werden. Es geht dann die Funktion u von x und y 

 in eine Funktion von t und ^ über. Der dem Werthe- 

 paare /, ip eindeutig entsprechende Werth von u möge 

 mit M [f ; ■^l bezeichnet werden. Für die Werthe t = 1 



