122 Schwarz, zur Integration der part. DifFgl. Au = 0. 



(Vergl. C. Neumann: lieber die Integration der par- 

 tiellen Differentialgleichung- -^^ + Q^r = 0. Bor- 



chardt's Journal, Bd. 59, pag. S64.) 



Also ist der Werth der Funktion u in einem be- 

 liebigen Punkte z = r.&f im Innern der Kreisflache 

 unter den angegebenen Voraussetzungen nur abhängig 

 von denjenigen Werthen, welche die Funktion u auf 

 der Peripherie des Kreises annimmt, und ausserdem 

 von den Polarkoordinaten jenes Punktes, bezogen auf 

 den Mittelpunkt des Kreises als Pol; überdiess ist 

 u (r, rp) durch die genannten Grössen eindeutig aus- 

 gedrückt. 



Wenn es daher eine Funktion u gibt," welche für 

 die Fläche eines Kreises den Bedingungen I Genüge 

 leistet und auf der Peripherie desselben mit einer ge- 

 gebenen Funktion f{q)) dem Werthe nach überein- 

 stimmt, so ist die Funktion durch diese Bedingungen 

 bestimmt und es gibt nur eine solche Funktion. 



§ 5- 

 Im Vorhergehenden ist gezeigt worden, dass jede 

 Funktion m, welche für eine Kreisfläche S den Be- 

 dingungen I genügt, durch diejenigen Werthe ein- 

 deutig bestimmt ist, welche dieselbe auf dem Rande 

 von S annimmt. Es entsteht nun die Frage, ob für 

 eine solche Funktion u die Reihe der Randw^erthe 

 m(1, (p) = f [(p) ^willkürlich vorgeschrieben werden 

 kann ? 



Diese Frage beantwortet folgender Lehrsatz : 

 Wenn längs des Randes der Kreisfläche S eine 

 für alle Werthe des reellen Argumentes cp endliche, 

 stetige und eindeutige reelle Funktion f{(p)^ welche 



