Schwarz, zur Integration der part. Diffgl. A« = 0, 12S 



bei Vermehrung- des Argumentes um ^tt periodisch 

 in sich zurückkehrt, sonst aber keiner weiteren Be- 

 schränkung unterliegt, vviJlkürh'ch vorgeschrieben ist. 

 so gibt es jedesmal eine (und nach dem Vorherge- 

 henden nur eine einzige) Funktion m, welche für die 

 Fläche S den Bedingungen I genügt und längs des 

 Randes von S mit der gegebenen Funktion f{<p) über- 

 einstimmt. 



Diese Funktion wird für alle Punkte ;- = r.e'^ 

 im Innern von 5, r < 1, dargestellt durch das Integral 



•27t 



Der Beweis dieses Satzes zerfällt in zwei Theile; 

 in dem ersten Theile (a) ist zu zeigen, dass die durch 

 die vorstehende Gleichung definirte Funktion u[r^q}) 

 für alle dem Innern von S angehörenden Punkte 

 z = r . e'"^ = X -^ yi in Beziehung auf die Variablen 

 X und y partielle Ableitungen aller Ordnungen besitzt 

 und der partiellen Differentialgleichung Au == ge- 

 nügt; in dem zweiten Theile (b) hingegen ist der 

 Nachweis zu führen , dass die Funktion u (r, g>) auch 

 in der Nähe des Werthes r = 1 eine stetige Function 

 ihrer Argumente ist und für r = 1 in die Funktion 

 f{(p) stetig übergeht. (S. pag. 126.) 



a. Die durch das Integral 



" 0-5 9^) = 2^JA^) . i-2rcoH^- ^JT^ 



dü> 



definirte Funktion u stimmt überein mit dem reellen 

 Theile der durch die Gleichunjj 





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