124 ScliAvarz, zur Integration der part. Diifgl, A m = 0. 



für alle Werthe von ^, deren absoluter Betrag r 

 kleiner ist als 1 , mit dem Charakter einer ganzen 

 Funktion eindeutig definirten analytischen Funktion 

 F{z) des komplexen Argumentes z = r.e'^ z= x -\- yi. 



Daher besitzt die Funktion u für alle im Innern 

 der Kreisfläche liegende Punkte z in Beziehung auf 

 die unabhängigen Variablen x und y partielle Ablei- 

 tungen aller Ordnungen und genügt in demselben Um- 

 fange der Differentialgleichung Am = 0. 



b. Wegen der vorausgesetzten Periodizität der 

 Funktion f{ip) kann man statt des Integrals 



27C 



1 — 2 r cos {ip — qp) -f- 



r- 



das Integral 



+7t 



hjn-P 



' 1 — 2 r COS t/> -)- *" 



setzen und da für alle Werthe von r, welche kleiner 

 sind als 1, den Werth r = 1 ausgeschlossen, das 



Integral -— | - — ^ — — r . # 



® 2:r J 1 — 2rcos^p-l-r- ^ 



—TT 



den Werth 1 hat, so gilt in demselben Umfange die 

 Gleichung 



«('■,?') = /w + ä^J \f(f +*)~f{<f) \_ l j^ ^ ,. #• 



—TT 



Es ist nun zu zeigen, dass es möglich ist, für die 

 Differenz 1 — r eine Grenze festzusetzen, sodass für 

 alle Werthe von r, für welche die Differenz 1 —r 

 von Null verschieden ist und jene Grenze nicht über- 



