Schwarz, Grenzübergang durch alternirendes Verfahren. 279 



biet Jg ®'n® Funktion %, welche längs L^ die vor- 

 geschriebenen Werihe hat, längs L^ mit der vorher 

 bestimmten Funktion u^ übereinstimmt und für welche 

 A M2 = ist. Nach der über das Gebiet T^ gemach- 

 ten Voraussetzung gibt es eine solche Funktion. (Er- 

 ster Zug des zweiten Kolbens.) 



Der Werlh von u^—u^ oder von u^ — k längs 

 lg ist kleiner als g—k=G. 



Man bestimme nun für das Gebiet 7^ eine Funk- 

 tion M3, welche längs L^ die vorgeschriebenen VVerthe 

 hat, längs Ig ™it ^2 übereinstimmt und für welche 

 A «3 = ist. (Zweiter Zug des ersten Kolbens.) 



Die Differenz % — m^ ist im Innern von 1\ in 

 keinem Punkte negativ und dem absoluten Betrage 

 nach kleiner als G, längs L^ aber nach dem erwähn- 

 ten Hülfssatze kleiner als G.g^, weil % — % längs 

 Lq den Werth Null hat und längs L^ kleiner als G ist. 



Den Werth der Funktion u^ längs L^ denke man 

 sich fixirt und für das Gebiet T^ eine Funktion u^ 

 bestimmt, welche längs L^ mit % übereinstimmt, längs 

 L^ die vorgeschriebenen Werthe hat und für welche 

 A W4 = ist. (Zweiter Zug des zweiten Kolbens.) 



Die Differenz u^ — u^ hat längs I3 den Werth 

 Null und ist längs L^, wo sie mit u^ — u^ überein- 

 stimmt, positiv und Ideiner als G . g^', daher ist im 

 Innern von Jg "4 — u^ nirgends negativ und bestän- 

 dig kleiner als G.g^, längs L^ aber kleiner als G.g^.g^. 



Durch Fortsetzung dieses alternirenden Verfah- 

 rens gelangt man zu einer Reihe von unendlich vie- 

 len Funktionen mit ungeradem und mit geradem In- 

 dex. Die einen sind für das Gebiet J^, die andern 

 für das Gebiet T^ so erklärt, dass sie beziehlich längs 



