280 Schwarz, Grenzübergang durch alternirendes Verfahren. 



Lq und L3 die vorgeschriebenen Werthe haben und 

 im Innern der Gebiete, für welche sie erliiärt sind, 

 der partiellen Differentialgleichung Am = genügen. 

 Für das Gebiet r* sind sowohl die Funktionen 

 mit ungeradem als die mit geradem Index erklärt und 

 zwar stimmen dieselben abwechselnd längs I^ und 

 längs L.2 mit einander überein. Längs L^ ist nämlich 



U2n-l = U%n UUd längS Lg «2«+! = U-ln- 



Es ist nun nicht schwer nachzuweisen, dass die 

 Funktionen mit ungeradem und diejenigen mit gera- 

 dem Index sich mit wachsendem Index bestimmten 

 Grenzfunktionen u' und u" unbegrenzt nähern, welche 

 durch die Gleichungen 



M'= Mi+(U3— Wi)4-(M5— «3)+... 



+ (m2h+i— W2w-i)-+-. .. in inf. 



+(m2u+2 — m2h) 4- ••• in inf. 

 erklärt sind. Die auf der rechten Seite stehenden 

 Reihen convergiren unbedingt und für alle in Be- 

 tracht kommenden Werthepaare x^y in gleichem Grade; 

 es' ist nämlich 



(M2M+1 — w2»-i) < G.{q^.q^Y-^ und 



(m2«4-2 — «2«) < G . {q^. q^y'"'^. qi • 



Sowohl längs L^ als längs L^ ist u'=u". Im 

 Innern von 7\ ist Am' = im Innern von T^ Am" = 0, 

 daher ist für jeden Punkt von T* u' = m", weil auf 

 der ganzen Begrenzung von I "' beide Funktionen mit 

 einander übereinstimmen. 



Es sind daher die beiden Funktionen u' und u" 

 Werthe derselben Funktion m, welche für das ganze 

 Gebiet T= T^-{-T^ — T^ erklärt ist, im Innern des- 

 selben der partiellen Differentialgleichung A « = 



